Властивості визначників

Визначники другого, третього порядку та їх обчислення.

Визначником другого порядку називається число, яке позначається:

а₁₁ а₁₂    

∆ ≡                  і обчислюється за формулою                     

а₂₁   а₂₂

 

  ∆ = а₁₁* а₁₂ - а₁₁* а₁₂            

 

Приклад 4.

1 -3 = 1*5 + 4*(-3) = 17

4 5

Визначником третього порядку називається число, яке позначається:

      а₁₁ а₁₂ а₁₃

   а₂₁ а₂₂   а₂₃ ≡ ∆

   а₃₁ а₃₂ а₃₃ 

і обчислюється за формулою трикутника:

∆ = а₁₁* а₂₂* а₃₃ + а₁₂*а₂₃*а₃₁ + а₂₁*а₃₂*а₁₃ –                         

– а₃₁*а₂₂*а₁₃ – а₂₁*а₁₂*а₃₃ – а₃₂*а₂₃*а₁₁

Приклад 5.

 3 -1 0

4 2 -2 = 3*2*1 + (-1)*(-2)*(-2) + 4*1*0 – (-2)*2*0 – 4*(-1)*1 – 1*(-2)*3 = 12

-2 1 1       

                     

Розглянемо ще 2 способи обчислення визначників третього порядку в основі яких лежать властивості:

  1.   Визначник не змінюється за величиною, якщо деякий його рядок (стовбець) помножити на число і додати до елементів іншого рядка (стовбця).

Приклад 6.

3 -1 0 (-2)   3 -1 0

4 2 -2      = -2 4 -2 = 12 + (-4) + 0 – 0 – 2 – (-6) = 12  

-2  1 1            -2 1 1

    2.   Розклад визначника за елементами рядка (стовбця) за формулою:

∆ = а_i1*A_i1 + а_i2*A_i2 + а_i3*A_{i3                                (1.2)}

i = 1,2,3

A_ij = (-1)^i+j * M_ij  - алгебраїчні доповнення до елементів а_ij.  

M_ij – мінор – це визначник, який отримується з даного в результаті викреслю-вання i-го рядка j-го стовпця.

 

Теорема КРАМЕРА для розв’язування СЛАР.

5.                           Теорема Крамера:

Якщо в системі рівнянь (1.1) m = n і          

1. ∆ ≠ 0, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами Крамера:

χ_j = , j = ;                                (1.7)

2. ∆ = 0 і всі ∆_j = 0, j = , то система має безліч розв’язків;

3. ∆ = 0 і хоча б один із допоміжних визначників відмінний від нуля, то система немає розв’язків, де ∆ - головний визначник системи, ∆_j (j = ) – допоміжні.

Приклад 10.

х₁ – 2х₂ + х₃ = 0

2х₁ + х₂       = 2

      3х₂ + 2х₃ = -2

∆ - головний визначник;

∆_j – допоміжний визначник;

    1 -2 1     1 -2 1    2 1

∆ = 2 1 0 = 2 1 0 = -2 7 = 16,     

    0 3 2     -2 7 0                                         

16 ≠ 0 – система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулою:

χ₁ = , χ₂ = , χ₃ =

∆₁ = 0 -2 1 = 0 -2 1 = 16

    2 1 0   2 1 0      

    -2 3 2   -2 7 0

∆₂ = 1 0 1 = 1 0 0 = 0

      2 2 0    2 2 -2     

      0 -2 2   0 -2 2

∆₃ = 1 -2 0 = 1 0 0 = -16

   2 1 2    2 5 2

   0 3 -2   0 3 -2

 

_{х 1} = = 1 х₂ = = 0  х₃ = =-1

Відповідь: (1;0;-1).

Властивості визначників

Властивості визначників:

1. Значення визначника не змінюється, якщо всі його рядки замінити стовбцями, причому кожний рядок замінити стовбцем з тим самим номером.

Ця властивість означає рівнозначність рядків і стовбців визначника;

2. Якщо поміняти місцями два стовбці (рядки) визначника, то визначник поміняє знак на протилежний.

3. Визначник, який має два однакові стовбці (рядки), дорівнює нулю.

4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовбця) мають спільний множник, то його можна винести за знак:

 а₁₁  mа₁₂ = m а₁₁  а_{12                                             (1.3)_}

 а₂₁  mа₂₁                  а₁₁  а₁₂   

5. Визначник, елементи двох стовбців (рядків) якого відповідно пропорційні, дорівнює нулю.

6. Якщо кожний елемент якого-небудь стовбця (рядка) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких стовбцями (рядками) є відповідні доданки, а решта збігається зі стовбцями (рядками) заданого визначника:

 

 а  + а а₁₂     = а а₁₂ + а а₁₂

      а + а  а₂₂            а  а₂₂         а  а_{22                                 (1.4)}

7. Визначник не змінюється, якщо до елементів якого-небудь його стовбця (рядка) додати відповідні елементи іншого стовбця (рядка), помножені на одне і те саме число.

8. Сума добутків елементів a_ij деякого рядка (стовбця) визначника на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовбця) дорівнює нулю:

= = 0,                     (1.5)

i ≠ j;  i,j = 1, 2, …, n

9.  Якщо всі елементи деякого стовбця (рядка) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.