Тема 3. n-вимірний лінійний простір. Перехід від одного базиса до іншого

План

1. Поняття n- вимірного вектора і лінійного вимірного простору.

2. Базис і розмірність лінійного n- векторного простору.

3. Перехід від одного базиса до іншого в лінійному.

 

1. n- вимірним вектором називають впорядковану сукупність із n- чисел і записують так а=(а₁, а₂,.....а_n); а        (3.1)

 Векторним простором називають множину елементами якої є вектори (3.1).

 Лінійним векторним простором називають векторний простір в якому введені лінійні дії з векторами, а+b=(a₁+b₁, a₂+b₂,…..a_n+b_n), які задовольняють властивостям:

1) переставний закон додавання a+b=b+a

2) сполучний закон (a+b)c=a(b+c)

3) існує нульовий вектор $0, такий, що а+0=а

4) існує протилежний вектор $(-а), такий, що а+(-а)=0

5) існує числовий множник 1, $1, такий, що 1а=а

6) a(a+b)=aa+ab

7)

а11 а21 : ап1

(a+b)a=aa+ba

8) a(ba)=(ab)a

Сукупність векторів а1, а2,…….аn (3.2),де аn =            н називають лінійно

 

 

незалежними векторами, якщо  = 0 (3.3), при умові, що всі λi = 0 (3.4).

Якщо умова (3.3) виконується, а (3.4) не виконується, то вектори називають лінійно залежними. Вираз  - називають лінійною комбінацією векторів.

Розглянемо векторне рівняння (3.3) і запишемо його в скалярній формі

 

0 0 : 0

а п 1 ап 2 : апп

а12 а22 : ап2

а11 а21 : ап1

  

                 +            + … +              =        

 

 

 

      0

= 0   

     0   

 

    (3.5)

     

 

(3.1) векторне рівняння відносно невідомих .

(3.4) скалярна система відносно невідомих , тобто (3.3) і (3.5) – це одне й те саме рівняння тільки по різному записане.

Розглянемо систему (3.5). Її називають однорідною системою рівнянь.

Зауваження: однорідна система завжди сумісна:

1) якщо , то має єдиний розв’язок і він дорівнює ,

2) якщо , то безліч розв’язків серед яких будуть ненульові.

Висновок:

Вектори незалежні будуть в тому випадку, коли рані матриці

              

А=       , , тобто числу невідомих де n – число невідомих λi,

        

                                  

2. Базисом лінійного векторного простору називають сукупність векторів (3.2), якщо:

1) вектори лінійно-незалежні;

2) довільний вектор простору є їх лінійною комбінацією, де в₁,в₂…в_n називають координатами вектора в в базисі (3.2).

Розмірністю лінійного векторного простору називають максимальне число можливих лінійно-незалежних векторів цього простору, якщо в просторі максимально можливих незалежних n векторів то говорять, що він розмірності n і записують так

Приклад 3.

Перевірити чи вектори

    лінійно незалежні.

Знайти координати вектора в = -1 в цьому базисі.     

                                                    2

                                                    1  

 n=3

Рівняння має нульовий розв’язок, тому вектори лінійно-незалежні.

 

                         

Відповідь:

13