1. Основні задачі аналітичної геометрії.
2. Різновиди рівнянь прямої лінії на площині.
2.1. рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: y = kx + b; рівняння вертикальної прямої: х = а
2.2. рівняння прямої, яка проходить через дану точку в заданому напрямі:
у – у1 = kx – kx1; y – y1 = k (x – x1)
2.3. рівняння прямої через 2 дані точки:
2.4. загальне рівняння прямої:
Аx + By + C = 0
3. Взаємне розміщення двох прямих на площині
3.1. точка перетину прямих:
3.2. кут між прямими: tgα =
3.3. умова паралельності прямих:
k2 = k1
3.4. умова перпендикулярності прямих:
k1∙k2 = -1
4. Множина розв’язків системи лінійних нерівностей
5. Задачі на пряму лінію
1. Лінія – це геометричне місце точок, координати яких задовольняють певним властивостям, тобто рівнянню:
F (x; y) = 0 (4.1)
х2 + у2 = 0 – не є лінією
х2 + у2 = 1 – не є лінією
Основні задачі:
1) За заданими властивостями лінії скласти її рівняння;
|
|
2) Задано рівняння ліній, вивчити її властивості і побудувати графік;
2.1. Дано, що пряма лінія утворює з віссю ОХ кут γ і на осі ОY відтинає відрізок ОВ. Скласти її рівняння.
у М
в
х х
tg γ =
tg γ = k – кутовий коефіцієнт прямої
, y-b = kx
y = kx + b (4.2)
х, у – координати довільної точки, b – відрізок на осі OY
у = -2х + 3
у′ = k, (kx)′ = k1
Для вертикальної прямої γ = 90°, а tg 90° не існує, тобто не існує кутового коефіцієнту і вона не описується рівнянням (4.2)
х = а (4.2*)
Рівняння (4.2), (4.2*) в сукупності задають все можливі прямі на площині:
ОХ: у = 0
OY: х = 0
γ = 0, то у = b – горизонтальна лінія
2.2. А (х;у), k – дано
Скласти рівняння
т. А → (2.1): у1 = kx1 + b
b = y1 – kx1 → (2.1)
y2 = kx + y1 – kx1
y2 – y1 = kx – kx1, y2 – y1 = k (x – x1)
2.3. A (x1;y1), B (x2;y2)
B → (2.2): y2 – y1 = k (x2 – x1)
k = (6.2) → (2.2): y – y1 = (x – x1),
Задача 1.
Скласти рівняння прямої, яка проходить через т. А (-3;2) і утворює з віссю ОХ γ = 45°
Розв’язання:
y – y1 = k (x – x1)
k = tg 45° = 1
y – 2 = 1(x+3)
y = x + 3 + 2
y = x + 5
Задача 2.
Скласти рівняння прямої, яка проходить через т. А (2;-1), В (3;2)
,
у + 1 = 3 (х – 2)
у + 1 = 3х – 6, у = 3х – 7
Задача 3.
Побудувати прямі:
1) у = -3х + 2
2) 3у – 2х + 6 = 0
3) у = 2х
4) х – 4 = 0
5) 2у – 3 = 0
2.4. Теорема 1
Рівняння першого порядку з двома змінними задає пряму лінію на площині
Аx + By + C = 0 (2.1)
Доведення:
By = -Ax – C
1) B ≠ 0, тоді у =
y = kx + b
2) B = 0, Ax + C = 0
|
|
x = Q
Теорема 2 (обернена)
Пряма лінія задається рівнянням першого порядку.
Доведення:
y = kx + b, x = a
3.1. Взаємне розміщення на площині
3.2. Кут між прямими γ = γ + α
у α = γ – γ
tg α = (tg (γ – γ) =
tg α = (4.4)
0 х
Задача 4.
Знайти кут між прямими і точку перетину прямих:
1) 3х – у + 5 = 0
2) –х + 2у + 1 = 0
3х – у = -5
-х + 2у = -1
∆у =│3 -1│ = 6 – 1 = 5
-1 2
∆х =│-5 -1│ = -10 – 1 = -11
-1 2
∆і = │3 -5│ = -3 – 5 = -8
-1 -1
х = , у =
у = 3х + 5 l1 = 3
y = ½x – ½ l2 = ½
tg α = =
3.3. l1║l2; α = 0°, tg 0° = 0 = k2 – k1 = 0 k2 = k1 - умова паралельності прямих.
3.4. l2║l1; α = 90°, tg 90° = Э (3.2): = Э 1 + k2∙k1 = 0 – умова перпендикулярності прямих.
Задача 5.
Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А (-3;2)
1)║ 2х – 3у + 5 = 0
2) 2х – 3у + 5 = 0
y – y1 = k (x – x1)
k2 = k1
3y = 2x + 5
y = 2) y – y1 = k (x – x1)
k1 = ; k2 = k1=
y – 2 = (x + 3) y – 2 =
y = + 2 + 2 y =
y = y =
Зауваження:
Середина відрізка знаходиться за формулами:
х = х1 + х2 ; у = у1 + у2 .
2 2
4. Множина розв’язків системи
Якщо розв’язками рівняння Ах + Ву + С = 0 є точки, які лежать на прямій, то розв’язками нерівності Ах + Ву + С > 0 буде півплощина обмежена цією прямою. Розв’язками системи нерівностей є спільна частина всіх півплощин, яка називається множиною розв’язків системи нерівностей.
Ця множина може бути відкрита, а може бути обмежена.
19