Пусть – правильная рациональная дробь, разложен по формуле (1.3.1). Тогда можно представить в виде суммы простейших дробей:
(1.3.2)
– неопределенные коэффициенты.
Пример.
– правильная дробь.
– неопределенные коэффициенты.
Пример (определение коэффициентов).
. (1.3.3)
Найдем . Приведем слагаемые в правой части (1.3.3) к общему знаменателю:
Приравняем числители полученной дроби и исходной дроби :
(1.3.4)
Приравняем коэффициенты при в (1.3.4):
Приравняем коэффициенты при , т.е. :
Интегрирование простейших дробей 1-3 типов.
1.
2.
3. – выделить в числителе производную трехчлена.
Пример.
Интегрирование простейших дробей 4 типа.
Выделим полный квадрат: ("+ ", т.к. иначе трехчлен имел бы корни)
Замена . Тогда
Рассмотрим .
Получим формулу понижения, выражающую через
Пример.
.
.
Алгоритм интегрирования рациональных дробей.
|
|
1. Если – неправильная рациональная дробь, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
2. Представить согласно (1.3.2) в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
3. Найти неопределенные коэффициенты.
4. Проинтегрировать сумму простейших дробей.
Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Линейность и аддитивность определенного интеграла.
Задача о массе неоднородного стержня.
Стержень длины имеет плотность . Найти массу .
Разобьем стержень на малые участки:
Тогда можно считать каждый участок однородным, и масса k-го участка
, где , . Тогда масса стержня
. Перейдя к пределу при , получим точное значение массы
Вычисление координаты точки, движущейся с переменной скоростью. Рассмотрим точку, движущуюся по прямой с переменной скоростью . Пусть начальная координата точки равна . Найти координату точки в момент времени .
Разобьем интервал времени на малые интервалы:
Считая, что за малый интервал скорость не меняется, получаем изменение координаты за этот интервал:
, где ,
Тогда
Точное значение: