2020-07-12
125
Пусть 
– правильная рациональная дробь, 
разложен по формуле (1.3.1). Тогда 
можно представить в виде суммы простейших дробей:
(1.3.2)
– неопределенные коэффициенты.
Пример.
– правильная дробь.
– неопределенные коэффициенты.
Пример (определение коэффициентов).
. (1.3.3)
Найдем 
. Приведем слагаемые в правой части (1.3.3) к общему знаменателю:
Приравняем числители полученной дроби и исходной дроби :
(1.3.4)
Приравняем коэффициенты при 
в (1.3.4):
Приравняем коэффициенты при 
, т.е. 
:
Интегрирование простейших дробей 1-3 типов.
1. 
2. 
3. 
– выделить в числителе производную трехчлена.
Пример.
Интегрирование простейших дробей 4 типа.
Выделим полный квадрат: 
("+ 
", т.к. иначе трехчлен имел бы корни)
Замена 
. Тогда
Рассмотрим 
.
Получим формулу понижения, выражающую 
через 
Пример.
.
.
Алгоритм интегрирования рациональных дробей.
1. Если – неправильная рациональная дробь, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
2. Представить 
согласно (1.3.2) в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
3. Найти неопределенные коэффициенты.
4. Проинтегрировать сумму простейших дробей.
Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Линейность и аддитивность определенного интеграла.
Задача о массе неоднородного стержня.
Стержень длины 
имеет плотность 
. Найти массу 
.
Разобьем стержень на малые участки: 
Тогда можно считать каждый участок 
однородным, и масса k-го участка
, где 
, 
. Тогда масса стержня
. Перейдя к пределу при 
, получим точное значение массы
Вычисление координаты точки, движущейся с переменной скоростью. Рассмотрим точку, движущуюся по прямой с переменной скоростью 
. Пусть начальная координата точки равна 
. Найти координату точки в момент времени 
.
Разобьем интервал времени 
на малые интервалы:
Считая, что за малый интервал 
скорость не меняется, получаем изменение координаты за этот интервал:
, где 
, 
Тогда 
Точное значение:
