Теорема (формула Остроградского-Лиувилля).
Пусть – частные решения ЛОДУ n-го порядка на . – определитель Вронского системы решений . Тогда
.
Док-во: (для случая )
ЛОДУ 2-го порядка:
– линейный дифференциальный оператор 2-го порядка.
Пусть – частные решения, тогда
Т.к. и – решения, то
,
,
,
Проинтегрируем от до :
Следствие 1. Если , что , то
Следствие 2 (Для ЛОДУ 2-го порядка).
Пусть – частное решение ЛОДУ 2-го порядка. Тогда функция
- частное решение ЛОДУ 2-го порядка причем образуют ФСР.
Док-во: по формуле Остроградского-Лиувилля
Считая известным, найдем такое, что
,
, значит .
Т.к. , то линейно независимы и образуют ФСР.
Пример.
.
– частное решение, найти
Тогда
– произвольные постоянные.
Теорема о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка. Теорема о наложении частных решений.
– линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами
Теорема (о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка).
|
|
Пусть – частное решение ЛНДУ . Тогда
Док-во: нужно доказать, что такие, что функция – решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение задачи Коши существует и определено на в силу теоремы существования. Рассмотрим разность :
Т.е. – решение ЛОДУ; – ФСР ЛОДУ;
Теорема (о наложении частных решений).
Пусть – частное решение ЛНДУ; ; – частное решение ЛНДУ; . Тогда – частное решение ЛНДУ
Док-во:
2.11. ЛОДУ с постоянным коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для ).
,
– линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами:
.
Рассмотрим случай :
Для произвольного найдем частное решение вида
.
.
Тогда
Опр. Уравнение называется характеристическим уравнением ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Таким образом, при имеем и функция является частным решением является корнем его характеристического уравнения.
Построение ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами по корням характеристического уравнения.