2020-07-12
401
Пусть 
- различные корни характеристического уравнения. Тогда функции
образуют ФСР ЛОДУ.
Док-во:
– частные решения, т.к. 
- корни характеристического уравнения. Покажем, что 
– линейно независимы.
– линейно независимы.
(
При 
: 
).
Тогда 
.
Пример.
.
Характеристическое уравнение:
,
,
,
,
.
Случай кратных действительных корней.
Пусть 
- корень кратности 
, т.е. 
– многочлен, причем 
.
Корню 
кратности соответствует 
линейно независимых решений:
.
Док-во: (для n=2)
Пусть - корень кратности 
характеристического уравнения
.
Тогда по теореме Виета 
.
– решение, т.к. – корень.
Покажем, что – также решение:
.
(
).
Тогда
.
– решения, линейно независимые, т.к. 
– ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами 2-го порядка и кратным корнем .
Пример.
Характеристическое уравнение:
,
,
.
ФСР: 
.
Случай комплексных корней кратности 1.
Пусть 
– корень характеристического уравнения кратности 1 
. Тогда 
– также корень кратности 1. Паре корней 
соответствуют 2 линейно независимых решения:
.
Док-во:
Рассмотрим комплексную показательную функцию, которую введем по формуле Эйлера
Покажем, что 
при :
Тогда для функции 
е. – комплексное решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Т.к. 
– решение, то 
, т.е. 
, т.е. функции
,
– решения ЛОДУ, они линейно независимы, т.к. 
.
Примеры.
1. 
.
,
,
,
.
ФСР: 
,
.
2. 
.
,
ФСР: 
.
.
4. случай кратных комплексных корней (возможен только при 
Пусть 
– корни кратности , 
. Им соответствуют 
линейно независимых решений:
.
