Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Пусть – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:

– квазимногочлен;

– многочлен степени ;

Тогда частное решение ЛНДУ (2.12.1) вида

– многочлен степени ; , если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; если – корень, то равен кратности корня .

Замечание. Коэффициентыв - неопределенные (заранее не неизвестные), находятся методом неопределенных коэффициентов.

Пример 1.

Соответствующее ЛОДУ: ,

Найдем .

;

– корень характеристического уравнения ЛОДУ кратности

Чтобы найти и , подствим функцию в ЛНДУ:

Коэффициент при 2

Коэффициент при .

Получаем СЛАУ относительно и

Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами

– многочлен степени ;

Тогда

; – многочлены степени ;

, если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; равен кратности корня, если является корнем.

Пример 1.

( уравнение колебаний при наличии внешней периодической силы частоты ).

,
.

Найдем .

( частота внешней силы равна собственной частоте резонанс, амплитуда колебаний неограниченно возрастает ).

Чтобы найти и , подставим в ЛНДУ:

Коэффициент при

Пример 2.

Чтобы найти и , подствим в ЛНДУ:

Коэффициент при .

2.13. Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для ).

Пусть – линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:

Соответствующее ЛОДУ:

Общее решение ЛОДУ:

– ФСР ЛОДУ,

– произвольные постоянные.

Теорема. Общее решение ЛНДУ () имеет вид

– ФСР соответствующего ЛОДУ,

производные функций определяются из СЛАУ

Замечание 1. СЛАУ (2.13.2) имеет единственное решение для , т.к. ее определитель ().

Замечание 2. Функций

Тогда

– произвольные постоянные.

Док-во (случай ). Рассмотрим ЛНДУ

– линейный дифференциальный оператор 2-го порядка.

– произвольные постоянные

СЛАУ (2.13.2) имеет вид

, или

1. Покажем, что если и удовлетворяют (2.13.3), то функция – решение ЛНДУ (2.13.1).

в силу (2.13.3)).

Тогда

Таким образом – решение ЛНДУ (2.13.1).

2. Решив СЛАУ (2.13.3), получим решение вида

Покажем, что для , такие, что решение , соответствующее и , удовлетворяет начальным условиям

Для и получим систему

- СЛАУ с определителем , т.к. – ФСР ЛОДУ,

т.е. – общее решение.

Пример.

(метод неопределенных коэффициентов неприменим!).

Соответствующее ЛОДУ:

Нормальные системы ДУ. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе. Сведение нормальной системы к одному уравнению n-го порядка.