Первые интегралы нормальных систем ДУ

Опр. Равенство

называется первым интегралом системы в области , если выполняется 2 условия:

1. Функция имеет непрерывные частные производные 1-го порядка в области и для , что .

2. Для решения системы

Первый интеграл позволяет понизить число уравнений в системе. Пусть в т. . Тогда по теореме о неявной функции из можно в некоторой окрестности т. выразить

Подставив в уравнения системы , начиная со второго, получим систему из (n-1) уравнения:

Чтобы полностью решить систему , нужно знать независимых первых интегралов:

Независимость первых интегралов означает, что ни один из них не может быть выражен через остальные. Система независимых первых интегралов неявно задает решение системы.

Симметричная форма записи нормальных систем ДУ:

Получив из симметричной формы системы интегрируемые комбинации (полные дифференциалы), можно найти 1-е интегралы. При нахождении интегрируемых комбинаций удобно использовать следующее свойство пропорций:

Пример 1.

Симмметричная форма системы:

По свойству пропорций получаем

Аналогично

Пример 2.

Для автономной системы найдем два независимых 1-х интеграла, не содержащих

Симметричная форма системы:

- (1-й интеграл).

Чтобы найти второй 1-й интеграл запишем симметричную форму системы в виде

Таким образом, найденные первые интегралы задают фазовые кривые системы:

Пример 3.

Симметричная форма:

- 1-й интеграл.

2.16.Нормальные системы ЛДУ, однородные и неоднородные. Матричная запись системы. Линейность пространства решений системы ЛОДУ. Вронскиан системы вектор-функций и его свойства. Теорема о размерности пространства решений системы ЛОДУ. Структура общего решения. Фундаментальная система решений.

– нормальная система ЛНДУ, здесь , – функции, непрерывные на некотором интервале

Если , то – система ЛОДУ.

Матричная форма системы ЛДУ :

где

матрица

Соответствующая

Теорема. Множество всех частных решений системы ЛОДУ является линейным пространством относительно операций сложения вектор-функций и их умножения на число.

Док-во: пусть – решения системы . Рассмотрим вектор-функцию . Имеем

т.е. – решение

Аналогично при и вектор-функции получаем

т.е. удовлетворяет системе решения образуют линейное пространство.

Опр. Вронскианом системы вектор-функций

называется определитель го порядка

Теорема (о вронскиане системы линейно зависимых вектор-функций).

Пусть вектор-функции линейно зависимы на . Тогда для .

Теорема (о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ)

Пусть – линейно независимые частные решения системы ЛОДУ огда для .

Теорема (о структуре общего решения нормальной системы ЛОДУ).

где – линейно независимые частные решения системы ; – произвольные постоянные.

Док-во:

1. Покажем, что линейно независимых частных решений. Пусть – решения задачи Коши для системы с начальными условиями:

для некоторой .

линейно независимы, т.к.

2. Покажем, что произвольное решение задачи Коши для (2.16.2) с начальным условием является линейной комбинацией .

Покажем, что заданному начальному условию удовлетворяет вектор-функция

Действительно,

Т.е. линейная комбинация

удовлетворяет заданному начальному условию.

Таким образом любое решение является линейной комбинацией .

Опр. Система линейно независимых решений системы называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Теорема (о структуре общего решения системы ЛНДУ).

Системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для случая вещественных различных корней).

Система ЛОДУ с постоянными коэффициентами:

где ; .

Матричная форма:

Найдем решение вида , где .

Подставим в :

т.е. - собственное значение матрицы ; – соответствующий собственный вектор.

Опр. Характеристическим уравнением системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами называется характеристическое уравнение , где .

Построение ФСР для системы по корням характеристического уравнения.

1. Случай различных действительных корней.

Пусть - различные корни характеристического уравнения (т.е. собственные значения матрицы ),

– соответствующие собственные вектора.

Тогда вектор-функции образуют ФСР для системы .

Док-во: нужно доказать, что частные решения линейно независимы.

Вронскиан , т.к. собственные вектора линейно независимы (как собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям), т.е. столбцы матрицы линейно независимы.

Пример.

(можно использовать, что для матрицы 2Х2

Найдем собственные значения.

; собственный вектор находим из СЛАУ

ФСР: ,

2. Случай кратных действительных корней.

Пусть - корень характеристического уравнения кратности . Ему соответствует решение вида

– многочлен степени . Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.

Пример.

Ищем решение в виде

Подставим в систему:

Коэффициент при в 1-м уравнении:

Коэффициент при во 2-м уравнении:

Коэффициент при во 2-м уравнении: . Получаем СЛАУ

3. Случай комплексных корней кратности 1.

Пусть – корень кратности 1 . Паре корней и соответствуют 2 линейно независимых решения. Пусть – комплексный собственный вектор, соответствующий комплексному собственному значению . Он находится из СЛАУ .

Тогда корням и соответствует комплексное решение системы ДУ:

Тогда и – вещественные линейно независимые решения, соответствующие корням и .

Пример.

Найдем собственный вектор соответствующий :

(второе уравнение пропорционально первому с коэффициентом ),

Литература

1. Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1988.-506 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VI).

2. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.- 336 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VIII).

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. -М., Наука, 1981.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1981.

5. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.:УРСС, 2004.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: