2020-08-05
83
Рассмотрим цепь, возбуждаемую одним независимым источником с задающей функцией x(t) (входным воздействием), и одной реакцией y(t) при нулевых начальных условиях. Пусть тем или методом получено дифференциальное уравнение связи реакции и входного воздействия вида
dn y dn -1 y dy dmx dm -1 x dx
an n
d t
+ an -1 d tn -1 + + a 1 d t + a 0 y = bm d tm
+ bm -1 d tm -1 + + b 1 d t + b 0 x.
Преобразуем по Лапласу обе части этого уравнения, результатом чего будет уравнение
ansnY (s) + an -1 sn -1 Y (s) + + a 1 sY (s) + a 0 Y (s) =
= bmsm X(s) + bm -1 sm -1 X(s) + + b 1 sX (s) + b 0 X(s).
Или в более краткой форме
N (s) Y(s) = M(s) X(s),
где
N (s) = ansn + an -1 sn -1 + + a 1 s + a 0 ,
M(s) = bmsm + bm -1 sm -1 + + b 1 s + b 0 - алгебраические многочлены от s.
Операторная характеристика цепи будет равна
H (s) = Y (s)
X (s)
= M (s)
N (s)
Исходное дифференциальное уравнение кратко можно записать через дифференциальные операторы
d = d,
 | |
где
N () y M() x
dt dt
d d
|
dt
M () = M (s) s = d
|
Следовательно, если задана операторная характеристика в виде отношения многочленов
H (s) = M (s),
N (s)
то, составив формальное равенство
M (s) = y
N (s) x
и произведя перекрестное умножение, получим
N (s) y = M (s) x.
Сделав в этом уравнении подстановку ренциальное уравнение.
s = d
dt
, получим искомое диффе-
Таким образом, собственные частоты цепи являются корнями
многочлена знаменателя функции Н(s), т.е. полюсами функции цепи Н(s). Попросту говоря, реакция Y(s) = H(s)X(s) может быть не нулевой при нулевом входном воздействии X(s), только если H(s) бесконечна, а это имеет место лишь при значениях s, являющихся полюсами функции H(s). Следует отметить, что полюсы H(s) являются собственными ча- стотами цепи только при условии, что входное воздействие равно нулю. Если ко входу двухполюсника подключен источник тока, то нулевое входное воздействие означает, что входные зажимы разомкнуты. Если же к входу подключен источник напряжения, то нулевое входное воз- действие означает, что входные зажимы замкнуты (закорочены).
