Методика определения реакции цепи при нулевом начальном состоянии с помощью операторных характеристик

10 11 12 13 14 15 16

1. Составление операторной схемы замещения цепи при нулевых начальных условиях.

x(t).

2. Определение изображения Х(s) заданного входного воздействия

3. Определение тем или иным методом по операторной схеме за-

мещения цепи операторной характеристики цепи H(s).

4. Определение изображения Y(s) реакции цепи y(t)

Y(s) = H(s)Х(s).

5. Определение реакции цепи y(t) = L^- ¹[Y(s)] по таблицам или с помощью формул разложения.

Примеры определения реакции цепи при нулевом начальном состоянии с помощью операторных характеристик.

15.6.1. Пример 1.

Определить напряжение на емкости

u_C (t)

в последовательной RC-

цепи при входном напряжении

u (t)

в виде прямоугольного видеоим-

пульса. Параметры цепи и видеоимпульса: R = 1 кОм, C = 10 мкФ; ам-

плитуда импульса E = 2 В, длительность импульса t _И

Решение

= 10 мс.

1. Составление операторной схемы замещения цепи при нулевых начальных условиях.

Схема последовательной RC-цепи изображена на рис.15.1а; на рис.15.1б представлена операторная схема замещения.

Рис.15.1. а – схема последовательной RC-цепи; б – операторная

схема замещения.

Параметры элементов операторной схемы замещения;

Z _R (s) = R = 10³ Ом;

Z_C (s) = 1 / (Cs) = 10⁶ / s

Ом.

2. Определение изображения

U (s)

заданного входного воздей-

ствия u (t).

Заданное входное воздействие можно записать в виде

u (t) = E [1(t) -1(t - t _И)].

Изображение по Лапласу U (s)

входного воздействия

u (t)

можно найти

на основе свойств линейности и временного сдвига прямого преобразо- вания Лапласа

U (s) = L[ u (t)] = E L[1(t)] - E L[1(t - t _И)] =

E - E e - st И.

s s

3. Определение тем или иным методом по операторной схеме за-

мещения цепи операторной характеристики цепи H(s).

Операторной характеристикой цепи в данном случае будет опера- торный коэффициент передачи по напряжению

H (s) = U C (s).

U (s)

Эту величину можно найти методом пробного источника. Зададимся

напряжением U (s)

и определим U_C (s). По формуле делителя напря-

жения можно записать

U_C (s) =

Откуда

Z_C (s)

Z _R (s) + Z_C (s)

U (s).

H (s) = UC (s) =

Z_C (s)

= 1 = 1,

где t

= RC = 10 ^-²

U (s)

с.

Z _R (s) + Z_C (s) 1 + RCs

1 + t s

4. Определение изображения U_C (s)

реакции цепи

u_C (t)

U_C (s) = H (s) U (s) =

1 æ E - E e - st И ö

1 + t s ç s s ÷

5. Определение реакции цепи

è ø

u_C (t).

u (t) = ^-¹

-1 é 1 æ E E

- st И öù

C L [ U _C (s)] = L

ê1 + t s ç s - s e

÷ú =

ë è øû

= L-1 é 1 æ E öù - L-1 é 1 æ E ö e - st И ù =

ê1 + t s ç s ÷ú ê1 + t s ç s ÷ ú

ë è øû ë è ø û

= -1 ¢ C

- -1 ¢ C

- st И ],

где

L [ U

(s)] L [ U

(s) e

U ¢ _C (s) =

1 æ E ö .

1 + t s ç s ÷

Введем обозначение

è ø

u ¢ (t) = ^-1 ¢ .

C L [ U _C (s)]

В этом случае изображение смещенной во времени функции будет иметь вид

u ¢ _C (t - t _И)

Следовательно,

L[ u ¢ _C (t - t _И)] = U ¢ _C (s) e ^- ^st ^И.

u_C (t) = u ¢ _C (t) - u ¢ _C (t - t _И).

Таким образом, остается определить u ¢ _C (t).

é ù

L [ U

u ¢ (t) = ^-1 ¢ (s)] = L^-1 é 1

æ E öù =

E L-1 ê

1 1ú .

C C ê1 + t s ç s ÷ú t

ê 1 s ú

ë è øû

ê t + s ú

ë û

Разложим выражение в квадратных скобках на простые дроби

1 1 = A + B.

1 + s s s

s + 1

t t

Из этого уравнения легко определить A, B: A = t, B = - t. Величина

u ¢ _C (t)

будет равна

é ùü ì

- t ü

u ¢ (t) =

E ïL-1 é

A ù + L-1 ê

B úï =

E ï A 1(t) + Be

t 1(t)ï =

C t í

êë s úû

ê 1 úý

t í ý

ï ê s + t

úï ïî ïþ

î ë ûþ

é _- t ù æ

- t ö

= E ê1(t) - e t 1(t)ú = E ç1 - e t ÷1(t).

ê ú ç ÷

Откуда

ë û è ø

u ¢ _C (t - t _И) == E ç1 - e

- t - t И

÷1(t - t _И).

ç ÷

è ø

Искомое напряжение на емкости будет равно

æ - t

u_C (t) = u ¢ _C (t) - u ¢ _C (t - t _И) = E ç1 - e t

ö æ

÷1(t) - E ç1 - e

- t - t И

÷1(t - t _И).

Или в числовой форме

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

u_C (t) = 2 (1 - e ^-¹⁰⁰ ^t)1(t) - 2 é1 - e ^-¹⁰⁰⁽ ^t ^-⁰^,⁰¹⁾ ù1(t - 0, 01) В.

ëê úû

Для графического анализа удобно ввести нормированное время

J = t / t. В нормированном времени длительность импульса будет равна

J _И = t _И / t = 1. Напряжение на емкости в зависимости от нормирован-

ного времени будет иметь вид

u_C (J) = E (1 - e ^- J )1(J) - E (1 - e ^-⁽ J - J И ) )1(J - J _И) =

= 2 (1 - e ^- J )1(J) - 2 (1 - e ^-⁽ J -1) )1(J -1).

Зависимость

u_C (J)

изображена на рис.15.2а.

Рис.15.2. а - зависимость u_C (J)

при t _И = t = 0, 01 с;

б - зависимость u_C (J) при t _И

= 0,1 t = 0, 001 с, t = 0, 01 с.

Уменьшим длительность импульса в 10 раз: t _И = 0, 001 с. при той же

постоянной времени t = 0, 01 с. В этом случае нормированная длитель-

ность импульса будет равна J _И = t _И / t = 0,1 и напряжение u_C (J)

примет вид

u_C (J) = E (1 - e ^- J )1(J) - E (1 - e ^-⁽ J - J И ) )1(J - J _И) =

= 2 (1 - e ^- J )1(J) - 2 (1 - e ^-⁽ J -0,1) )1(J - 0,1).

Зависимость

u_C (J)

для данного случая приведена на рис.15.2б.

Как видно из данного рисунка, на интервале длительности импульса [0; 0,1] напряжение на емкости изменяется практически по линейному

закону. Таким образом, при t ³ 10 × t _И напряжение на емкости u_C (t)

приблизительно равно интегралу от входного напряжения и, следова- тельно, данная последовательная RC-цепь может выполнять функцию электрического интегрирования.

Пример 2.

Определить напряжение на сопротивлении u _R (t)

в последователь-

ной RC- цепи при входном напряжении

u (t)

в виде прямоугольного ви-

деоимпульса. Параметры цепи и видеоимпульса: R = 1 кОм, C = 10

мкФ; амплитуда импульса E = 2 В, длительность импульса t _И

= 10 мс.

Таким образом, в данном случае рассматривается цепь из примера 1, но теперь в качестве выходного напряжения (реакции) рассматривается напряжение на сопротивлении.

Решение

1. Составление операторной схемы замещения цепи при нулевых начальных условиях.

Схема последовательной RC-цепи изображена на рис.15.1а; на рис.15.1б представлена операторная схема замещения.

2. Определение изображения

U (s)

заданного входного воздей-

ствия

u (t). Эта задача решена в примере 1

U (s) = L[ u (t)] = E L[1(t)] - E L[1(t - t _И)] =

E - E e - st И.

s s

3. Определение тем или иным методом по операторной схеме за-

мещения цепи операторной характеристики цепи H(s).

Операторной характеристикой цепи в данном случае будет опера- торный коэффициент передачи по напряжению

H (s) = U R (s).

U (s)

Эту величину можно найти методом пробного источника. Зададимся

напряжением U (s)

и определим U _R (s). По формуле делителя напря-

жения можно записать

U _R (s) =

Откуда

Z _R (s)

Z _R (s) + Z_C (s)

U (s).

H (s) = U R (s) =

Z _R (s) = RCs

= t s,

где t

U (s)

= RC = 10 ^-2 с.

Z _R (s) + Z_C (s) 1 + RCs

1 + t s

4. Определение изображения U _R (s) реакции цепи

u _R (t)

U _R (s) = H (s) U (s) = t s æ E

- E e - st И ö.

1 + t s ç s s ÷

5. Определение реакции цепи

è ø

u_C (t).

u _R (t) = ^-¹ _R

-1 é t s æ E E

- st И öù

L [ U

(s)] = L

ê1 + t s ç s - s e

÷ú =

ë è øû

= L-1 é t s æ E öù - L-1 é t s æ E ö e - st И ù =

ê1 + t s ç s ÷ú ê1 + t s ç s ÷ ú

ë è øû ë è ø û

= -1 ¢ R

- -1 ¢ R

- st И ],

где

L [ U

(s)] L [ U

(s) e

U ¢ _R (s) = t s æ E ö = E t = E.

1 + t s ç s ÷ 1 + t s s 1

Введем обозначение

è ø +

u ¢ (t) = ^-1 ¢ .

R L [ U _R (s)]

В этом случае изображение смещенной во времени функции будет иметь вид

u ¢ _R (t - t _И)

Следовательно,

L[ u ¢ _R (t - t _И)] = U ¢ _R (s) e ^- ^st ^И.

u _R (t) = u ¢ _R (t) - u ¢ _R (t - t _И).

Таким образом, остается определить u ¢ _R (t).

é ù _t

u ¢ (t) = ^-¹ ¢ (s)] = L^-¹ ê E ú = - t .

R R ê

1 ú Ee

1(t)

ê s + t ú

Откуда

ë û

- t - t И

u ¢ _R (t - t _И) == E e

t 1(t - t _И).

Искомое напряжение на сопротивлении будет равно

u _R (t) = u ¢ _R (t) - u ¢ _R (t - t _И) = E e

Или в числовой форме

- t

t 1(t) - E e

- t - t И

1(t - t _И).

u _R (t) = 2 e ^-^{100 t}1(t) - 2 e ^-^100(t^-^0,01)1(t - 0, 01) В.

Для графического анализа удобно ввести нормированное время

J = t / t. В нормированном времени длительность импульса будет равна

J _И = t _И / t = 1. Напряжение на сопротивлении в зависимости от норми-

рованного времени будет иметь вид

u _R (J) =

Ee - J

1(J) - Ee ^-⁽ J - J И)1(J - J _И) =.

Зависимость

u _R (J)

= 2 e ^- J 1(J) - 2 e ^-⁽ J -1)1(J -1). изображена на рис.13.3а.

Рис.15.3. а - - зависимость u _R (J)

при t _И = t = 0, 01 с;

б - зависимость u _R (J) при t _И

= 10 t = 0,1 с, t = 0, 01 с.

Увеличим длительность импульса в 10 раз: t _И = 10 t = 0,1 с. при той же

постоянной времени t = 0, 01 с. В этом случае нормированная длитель-

ность импульса будет равна примет вид

J _И = t _И

/ t = 10

и напряжение

u _R (J)

= - J -(J -10)

u _R (J) =

2 e - J

1(J) - 2 e ^-⁽ J -10)1(J -10)

Зависимость

u _R (J)

2 e 1(J) - 2 e 1(J -10).

для данного случая приведена на рис.15.3б.

Выясним, как связано напряжение u _R (t) с входным напряжением

u (t)

при t ≪ t _И. Составим уравнение ЗКН для RC-цепи:

u _R (t) + u_C (t) = u (t).

По основным уравнениям С и R-элементов можно выразить

u _R (t)

u_C (t)

через

u (t) = 1 ¢ ¢ = 1

¢ ¢ = 1 t ¢ ¢ .

C C ò i (t) dt RC ò u _R (t) dt t ò u _R (t) dt

Подставим

0 0 0

u_C (t) в уравнение ЗКН

1 t

u (t) +

¢ ¢ = .

R ò u _R (t) dt u (t)

При малой постоянной времени первым членом в сумме можно прене- бречь. В этом случае

1 t ¢ ¢ » .

ò u _R (t) dt u (t)

Взяв производную от левой и правой частей этого выражения, можно получить

u _R (t)» t

du.

Таким образом, при t ≪ t _И

напряжение

u _R (t)

пропорционально

производной от входного напряжения и последовательная RC-цепь в данном случае осуществляет операцию электрического дифференциро- вания входного напряжения.

Временная диаграмма u_C (t) при t _И = 10 t =0,1 с.

(J _И

= t _И

/ t = 10), которая рассчитывается по формуле

u_C (J) = 2 (1 - e ^- J )1(J) - 2 (1 - e ^-⁽ J -10) )1(J -10),