Лекция 6. Определение реакции цепи при нулевом

Начальном состоянии с помощью временных характеристик

Сингулярные сигналы.

Определение. Сингулярным сигналом называется сигнал, описы- ваемый функцией времени, у которой в некоторых (особых или сингу- лярных) точках не существует производной в обычном смысле.

Единичный скачок.

Определение. Единичным скачком называется сигнал, описывае- мый единичной ступенчатой функцией времени,

𝑣(𝑡) = 1(𝑡), (6.1)

где 1(𝑡) – единичная ступенчатая функция, определяемая согласно уравнению

0, 𝑡 < 0

1(𝑡) = {1, 𝑡 > 0. (6.2)

График этой функции приведен на рис.6.1а.

Рис.6.1. Единичные ступенчатые функции

На рис.6.1б изображена смещенная вправо на время 𝑡₀ > 0 единичная ступенчатая функция 1(𝑡 − 𝑡₀). Инвертированная во времени единич- ная ступенчатая функция 1(−𝑡) приведена на рис.6.1 в, а ее смещенная влево на время 𝑡₀ > 0 версия 1(−𝑡 − 𝑡₀) – на рис.6.1 г.

Как видно из приведенных рисунков, единичная ступенчатая функция терпит разрыв при аргументе равным нулю: 𝑡 = 0 у функций 1(𝑡) и 1(−𝑡), 𝑡 = 𝑡₀ у функции 1(𝑡 − 𝑡₀) и 𝑡 = −𝑡₀ у функции 1(−𝑡 −

𝑡₀). В соответствии с определением (6.2) значение единичной ступен- чатой функции при 𝑡 = 0 не определено. Это можно объяснить тем, что разные последовательности непрерывных функций, определяющих единичную ступенчатую функцию, имеют разные пределы в этой точке. Это не единственное определение. Часто используется также определе- ние, при котором 1(0) = 1, т.е. функция считается непрерывной справа или определение, при котором 1(0) = 0 и функция является непрерывной слева.. Встречается и другое определение, при котором 1(0) = 0,5. Реальные электрические системы являются инерционными и производят сглаживание или усреднение входных сигналов, поэтому с физической точки зрения точное значение функции в точке разрыва не важно.

Что касается обозначения единичной ступенчатой функции то и здесь нет единообразия. У разных авторов наиболее часто встречаются следующие обозначения: 𝑈₋₁(𝑡), 𝜎(𝑡), 𝛿₁(𝑡), 𝑢(𝑡).

Наряду с единичным скачком, рассматриваются и сигналы в виде единичного скачка, умноженнго на вещественное число.

Такой сигнал будем называть ступечатым сигналом с заданной амплитудой, например, 𝑣(𝑡) = 𝐴1(𝑡). Если в качестве сигнала рас- сматривается напряжение, то ступенчатый сигнал с заданной амплитудой записывается в виде 𝑢(𝑡) = 𝑈1(𝑡), где 𝑈 – амплитуда сигнала. Размерностью сигнала в этом случае будет размерность напряжения, т.е. вольт. Если в качестве сигнала рассматривается ток, то ступенчатый сигнал с заданной амплитудой записывается в виде

𝑖(𝑡) = 𝐼 1(𝑡), где 𝐼 – амплитуда сигнала. Размерностью сигнала в этом случае будет размерность тока, т.е. ампер.

Единичная ступенчатая функция может использоваться для замены источника сигнала 𝑣(𝑡), подключаемого идеальным ключом в момент 𝑡 = 𝑡₀ к некоторой цепи, эквивалентным не коммутируемым источником сигнала вида 1(𝑡 − 𝑡₀)𝑣(𝑡). Также с помощью единичной ступенчатой функции можно описать единым аналитическим выра- жением сигнал, описываемый различными формулами на различных

интервалах области определения. Рассмотрим пример такого описания. Пусть задан сигнал

−2𝑡 .

𝑣(𝑡) = { −𝑒𝑡, 𝑡 < 0

2𝑒, 𝑡 > 0

Этот сигнал можно записать кратко в виде одного аналитического выражения

𝑣(𝑡) = −1(−𝑡)𝑒𝑡 + 1(𝑡)2𝑒𝑡

Этот сигнал имеет разрыв в момент 𝑡 = 0. Предел слева равен 𝑣(0 −) =

−1, а предел справа - 𝑣(0 +) = 2. Величина скачка

𝑣(0 +) − 𝑣(0 −) = 3

Производная единичного скачка равна нулю везде кроме точки

𝑡 = 0, в которой производная в обычном смысле не существует. Имен- но поэтому единичный скачок отнесен к сингулярным сигналам.

Единичный импульс.

Определение. Единичным импульсом называется сигнал, описы- ваемый единичной импульсной функцией.

Этот сигнал имеет вид

𝑣(𝑡) = 𝛿(𝑡), (6.3)

где 𝛿(𝑡) – единичная импульсная функция (дельта-функция).

Часто понятия единичной импульсной функции и единичного импульса отождествляются.

Остановимся кратко на определении дельта - функции и ее неко- торых свойствах. Дельта-функция формально определяется как произ- водная от единичной ступенчатой функции. Но производная в обычном смысле от функции 1(𝑡) равна нулю при 𝑡 ≠ 0 и не определена в точке разрыва при 𝑡 = 0. Таким образом, при таком определении дельта- функции она не может быть обычной числовой функцией, которая должна устанавливать однозначное соответствие между каждым значе- нием независимой переменной 𝑡 из области определения и единствен- ным значением функции. Поэтому когда говорят о производной от еди- ничной ступенчатой функции имеют в виду не обычную производную, а производную в обобщенном смысле. Строгое определение дельта – функции дается в теории обобщенных функций. В этой теории под обобщенными функциями понимаются непрерывные функционалы на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций. В

теории обобщенных функций показано, что дельта- функцию можно определить также как предел последовательностей гладких функций, т.е. функций, имеющих производные любого порядка.

Установим некоторые свойства дельта-функции. Пусть согласно определению

0−

Откуда

𝛿(𝑡) = ^𝑑

𝑑𝑡

1(𝑡). (6.4)

−∞

1(𝑡) = ∫𝑡

𝛿(𝜏) 𝑑𝜏 = ∫𝑡

𝛿(𝜏) 𝑑𝜏 (6.5)

Площадь дельта функции

∫

−∞

∞ 𝛿(𝜏) 𝑑𝜏 = 1. (6.6)

Таким образом, выражения (6.5), (6.6) определяют интегральные свой- ства дельта – функции. Можно определить дельта – функцию как обобщенную функцию равную нулю везде, за исключением точки 𝑡 = 0 и удовлетворяющей условиям (6.5), (6.6). При этом мы не определяем значения функции при 𝑡 = 0. Тогда в соответствии с (6.5), дельта – функция окажется равной производной в обобщенным смысле от еди- ничной ступенчатой функции. Интересно определить последовательно- стью каких обычных функций можно представить дельта-функцию.

Формально из выражения (3.4.4) следует

𝜀

𝛿(𝑡) = lim𝜀→0 1(𝑡)−1(𝑡−𝜀). (6.7) При фиксированном значении 𝜀 величина П (𝑡) = ¹ [1(𝑡) − 1(𝑡 − 𝜀)]

𝜀

представляет собой прямоугольный импульс с длительностью 𝜀 и ам-

плитудой (1/ 𝜀). С уменьшением 𝜀 длительность импульса уменьшается, а его амплитуда увеличивается. В пределе при 𝜀 → 0 длительность им- пульса стремиться к нулю, а его амплитуда к бесконечности, но пло- щадь импульса остается равной единице.

Таким образом, дельта – функцию можно определить как предел после- довательности прямоугольных импульсов П_𝜀(𝑡), т.е.

𝛿(𝑡) = lim_𝜀→0 П_𝜀(𝑡). (6.8)

Можно указать последовательности и других обычных функций, опре- деляющих дельту – функцию:

2𝜀

двусторонняя экспоненциальная функция

гауссовская функция

𝛿(𝑡) = lim_𝜀→0 ¹

𝑒−|𝑡|/𝜀; (6.9)

𝛿(𝑡) = lim

функция отсчетов. sinc(x) = sinx /x

1 𝑒−𝜋𝑡2/𝜀2 ; (6.10)

𝜀→0

𝜀

𝜋

𝛿(𝑡) = lim_𝑘→∞ ^𝑘 sinc(𝑘𝑡). (6.11)

Дельта - функция, определенная выражениями (6.9)- (6.11), является четной функцией, а выражением (6.8) – нет. Далее мы покажем, что дельта- функция в действительности ведет себя как четная функция. Но это не означает, что функции в последовательности, представляющей дельта функцию, должны быть четными.

Таким образом, дельта-функция 𝛿(𝑡) есть идеализация очень узкого импульса, причем площадь импульса ограничена и равна единице. Зна- чение дельта-функции при 𝑡 = 0 не определено. При использовании приведенных выше функций для определения дельта-функции, значе- ние дельта- функции при 𝑡 = 0 равно бесконечности, т.е. 𝛿(0) = ∞.

Однако предложены последовательности других функций 𝑓_𝑛(𝑡), сходя- щихся к дельта - функции, для которых

lim_𝑛→∞ 𝑓_𝑛(0) = 0, или lim_𝑛→∞ 𝑓_𝑛(0) = −∞.

Несмотря на это замечание любая последовательность функций, веду- щая себя в пределе как дельта – функция, должна быть неограниченной в окрестности точки 𝑡 = 0.

Часто при практическом использовании дельта – функции ее зна- чение при 𝑡 = 0 полагают равным бесконечности.

Так как дельта – функция мыслится как импульс бесконечно ма- лой длительности, то интуитивно ясно, что 𝛿(𝑡) должна обладать сле- дующим свойством

∫

∞

−∞

где 𝑓(𝑡) – непрерывная функция.

𝑓(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(0), (6.12)

Покажем, что это действительно так, если рассматривать дельта – функцию как производную от единичной ступенчатой функции. Под- ставим в левую часть выражения (6.12) 𝛿(𝑡) = 𝑑1(𝑡)/𝑑𝑡 и интегрируя по частям можно получить

∞

() ()

∞ () 𝑑1(𝑡)

∞

() ()

−∞

∫ 𝑓 𝑡 𝛿

−∞

𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓 𝑡

−∞

𝑑𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓

𝑡 𝑑1 𝑡 =

= 𝑓(𝑡)1(𝑡)│^∞ − ∫∞ 𝑓^′(𝑡)1(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(∞) − ∫∞ 𝑓^′(𝑡)𝑑𝑡 =

−∞ −∞ 0

= 𝑓(∞) − 𝑓(𝑡)│∞ = 𝑓(∞) − 𝑓(∞) + 𝑓(0) = 𝑓(0). (6.13)

Что совпадает с выражением (6.12), полученным на основе интуитив- ных предпосылок. Таким образом, определение дельта – функции как производной в обобщенном смысле от единичной ступенчатой функции тождественно определению этой функции как предела последователь- ности обычных функций по результату интегрирования произведения дельта – функции и произвольной непрерывной функции. Следователь- но, дельта – функция определяется не своими значениями в каждый момент времени как обычная функция, а тем как она работает под зна- ком интеграла.

Определим теперь смещенную дельта – функцию 𝛿(𝑡 − 𝑡₀) как производную от смещенной единичной ступенчатой функции согласно выражению

𝛿(𝑡 − 𝑡₀) = 𝑑1(𝑡 − 𝑡₀)/𝑑𝑡. (6.14)

Для смещенной дельта функции справедливо следующее соотношение, аналогичное (6.12)

∫

−∞

∞ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡₀)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡₀). (6.15)

Свойство дельта – функции, характеризуемое выражениями (6.12) и (6.15) называется фильтрующим (выборочным) или стробирующим свойством.

Фильтрующее или стробирующее свойство характеризуется также вы- ражением

𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡₀) = 𝑓(𝑡₀)𝛿(𝑡 − 𝑡₀), (6.16)

𝑓(𝑡) – непрерывная функция.

Для произведения разрывной функции на дельта функцию, распо- ложенной в точке разрыва, например 1(𝑡)𝛿(𝑡), невозможно найти сов- местимое с этой ситуацией значение, и по этой причине ее следует из- бегать. В связи с соотношением (6.16) встает вопрос о том как понимать равенство выражений, содержащих дельта – функции.

Пусть ∆₁(𝑡) и ∆₂(𝑡) – два выражения, включающие наряду с обычными функциями времени и дельта – функции и ее производные. Тогда ∆₁(𝑡) и ∆₂(𝑡) тождественны (∆₁(𝑡) ≡ ∆₂(𝑡)) или просто равны (∆₁(𝑡) =

∆₂(𝑡)), в том и только том случае, если

∫

−∞

∞ 𝑓(𝑡)∆₁(𝑡)𝑑𝑡 = ∫∞

𝑓(𝑡)∆₂(𝑡)𝑑𝑡, (6.17)

где 𝑓(𝑡) – любая функция времени, для которой рассматриваемые инте- гралы сходятся.

В этом смысле равенство 𝛿(𝑡) = 𝑑1(𝑡)/𝑑𝑡 означает

∫

−∞

∞ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = ∫∞

𝑓(𝑡)𝑑1(𝑡) = 𝑓(0), (6.18)

что полностью согласуется с (6.12).

Размерность дельта – функции обратна размерности времени:

[𝛿] = с−1, что следует из равенства ее площади единице.

Наиболее ярко определяющее свойство дельта – функции прояв- ляется в интеграле свертки вида

∫

−∞

∞ 𝑓(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = ∫∞

𝑓(𝑡 − 𝜏)𝛿(𝜏)𝑑𝜏 = 𝑓(𝑡), (6.19)

где 𝑓(𝑡) – произвольная функция времени, в том числе и разрывная. Таким образом, свертка дельта – функции с любой функцией воспроиз- водит эту функцию. Например, если 𝑓(𝑡) = 1(𝑡), то

∫

−∞

∞ 1(𝑡 − 𝜏)𝛿(𝜏)𝑑𝜏 = ∫𝑡

𝛿(𝜏)𝑑𝜏 = 1(𝑡);

если 𝑓(𝑡) = 𝛿(𝑡), то

∫

−∞

∞ 𝛿(𝑡 − 𝜏)𝛿(𝜏)𝑑𝜏 = 𝛿(𝑡).

Здесь можно отметить, что математически использование дельта – функции в интеграле преследует цель выбирать значение подынте- грального выражения (без 𝛿(𝑡)) в точке, характеризуемой наличием в ней дельта – функции.

Произведение дельта – функции 𝛿(𝑡) на вещественное число А -

𝐴𝛿(𝑡) интерпретируется как линейный импульс с амплитудой А. Сигнал, описываемый линейным импульсом, имеет вид

𝑣(𝑡) = 𝐴𝛿(𝑡). (6.20)

Площадь этого сигнала равна А. Таким образом, амплитуда линейного импульса равна его площади. Поэтому размерность амплитуды А равна произведению размерностей сигнала 𝑣 и времени 𝑡: [𝐴] = [𝑣] × 𝑐.

Если в качестве сигнала рассматривается линейный импульс напряже- ния, то он будет иметь вид

𝑢(𝑡) = 𝑈0𝛿(𝑡), (6.21)

где 𝑈0 - амплитуда импульса, с размерностью [𝑈0] = 𝐵 × 𝐶.

Верхний индекс в обозначении амплитуды импульса напряжения слу- жит для напоминания о том, что эта величина не является напряжением и имеет размерность 𝐵 × 𝐶.

Если в качестве сигнала рассматривается линейный импульс тока, то он будет иметь вид

𝑖(𝑡) = 𝐼0𝛿(𝑡), (6.22)

где 𝐼0 - амплитуда импульса, с размерностью [𝐼0] = 𝐴 × 𝐶.

Верхний индекс в обозначении амплитуды импульса тока служит для напоминания о том, что эта величина не является током и имеет раз- мерность 𝐴 × 𝐶.

При изменении масштаба времени, как легко показать, дельта – функция преобразуется следующим образом

𝛿(𝑎𝑡) = ¹

|𝑎|

𝛿(𝑡). (6.23)

Если в (6.23) положить 𝑎 = −1, то получим 𝛿(−𝑡) = 𝛿(𝑡). Таким обра- зом, дельта – функция ведет себя как четная функция, хотя узкий им- пульс большой амплитуды, служащий приближением дельта –функции, вовсе не должен иметь вид четной функции.

Введенная дельта – функция 𝛿(𝑡) как производная в обобщенном смысле от единичной ступенчатой функции 1(𝑡) часто называется дельта – функцией нулевого порядка. Обобщая, можно ввести дельта – функцию порядка 𝑛 - 𝛿(𝑛)(𝑡), как (𝑛 + 1) – ю производную в обобщен- ном смысле от 1(𝑡) или первую производную от 𝛿(𝑛−1)(𝑡):

𝑛+1

𝛿(𝑛)(𝑡) = ^𝑑𝑛+1

𝑑𝑡

1(𝑡) = ^𝑑

𝑑𝑡

𝛿(𝑛−1)(𝑡), 𝑛 = 1,2, … (6.24)

Размерность величины 𝛿(𝑛) равна с−(𝑛+1).

Обращаясь с дельта – функциями порядка 𝑛 как с обычными функция- ми можно установить следующие соотношения

∫

−∞

∞ 𝛿(𝑛)(𝑡 − 𝑡₀)𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = (−1)𝑛𝑓(𝑛)(𝑡₀), (6.25)

где 𝑓(𝑡) – функция, имеющая производные в обычном смысле до n - го порядка включительно;

∫

−∞

∞ 𝛿(𝑛)(𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜏)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑛)(𝑡), (6.26)

Таким образом, свертка дельта – функции порядка 𝑛 с функцией, име- ющей производные в обычном смысле до – 𝑛 - го порядка включительно, воспроизводит производную 𝑛 - го порядка от этой функции.

Также имеет место соотношение

𝛿(𝑛)(−𝑡) = (−1)𝑛𝛿(𝑛)(𝑡). (6.27) Откуда следует, что дельта – функции четного порядка ведут себя как четные, а нечетного порядка – как нечетные функции.

Первая производная в обобщенном смысле от дельта – функции 𝛿(𝑡) (дельта – функция первого порядка) 𝛿(1)(𝑡) является нечетной функци- ей и называется дуплетом.

Из (6.17) следует, что две линейные комбинации функций 𝛿(𝑡),

d ¢(t), …,d ⁽ⁿ⁾(t)

с постоянными коэффициентами равны в том и толь-

ко в том случае, если равны коэффициенты при производных одного и того же порядка

Так как дельта – функция любого порядка равна нулю при 𝑡 ≠ 0, то интегралы с бесконечными пределами могут быть заменены на инте- гралы по любому интервалу, включающему точку 𝑡 = 𝑡₀ расположения дельта – функции, например, по интервалу [𝑡₀ − 𝜀, 𝑡₀ + 𝜀], где 𝜀 - бесконечно малая положительная величина. Такой интервал кратко обозначают как [𝑡₀−, 𝑡₀+]. При операциях с дельта – функцией необхо- димо четко различать символы 𝑡₀ −, 𝑡₀ +, 0-, 0+.

Линейный импульс с амплитудой 𝐴 на временной диаграмме изображают в виде вертикальной стрелки длиной 𝐴, проведенной из точки возникновения импульса 𝑡₀, а его производную (дуплет) в виде вертикальных стрелок длиной 𝐴, направленных разные стороны как показано на рис.3.6.