Общие свойства операторных характеристик

1. Операторная характеристика

H (s)

пассивной цепи с сосредото-

ченными параметрами всегда имеет форму отношения многочленов от s, т.е. является рациональной функцией. В соответствии с основной теоремой алгебры любой многочлен может быть разложен на множите- ли, соответствующие его корням

ansn + an -1 sn -1 + + a 1 s + a 0 = an (s- s 1)(s- s 2 ) (s-s n ).

Таким образом, рациональная операторная характеристика всегда может быть записана как

bmsm + bm -1 sm -1 + + b 1 s + b 0

(s- s 01)(s- s 02 ) (s- s0 n)

H (s) =

 

ans

n +  an -1 sn -1

+ + a 1 s + a 0

= K

(s- s

p 1)(s- sp 2

,

) (s- s pn)

где

K = bm / an.

Комплексные числа s_0k называются нулями функции H(s), а ком-

плексные числа s_pk – полюсами функции H(s). Таким образом, рацио- нальную функцию H(s) можно задать полностью, если задать ее полю- сы и нули и число К, являющееся просто масштабным множителем. Ве- личину К можно найти, если известно значение функции H(s) в какой- нибудь точке (кроме нуля и полюса). Однако масштабный множитель не имеет большого значения. Аналитические свойства функции H(s) определяются ее полюсами и нулями. Поэтому принято условно харак- теризовать функцию H(s) в комплексной плоскости в виде совокупно- сти нулей и полюсов. Нули обозначают кружочками, а полюсы – кре- стиками.

 

Определение 2. Графическое изображение расположения полю- сов и нулей функции H(s) на комплексной плоскости называется диа- граммой полюсов-нулей.

Если функция H(s) есть функция пассивной цепи, то величины

an , an -1,, a 0;

bm, bm -1,

b 0,

являются вещественным. Последнее обусловлено тем, что операторные сопротивления и проводимости элементов R, L, C суть рациональные функции с вещественными коэффициентами.

Из этого следует, что все функции пассивной цепи вещественны на ве- щественной оси в плоскости s.

Определение 3. Функция комплексного переменного, веществен- ная на вещественной оси, называется вещественной функцией.

 

Таким образом, операторные характеристики пассивной цепи яв- ляются вещественными рациональными функциями. Отсюда непосред- ственно вытекает, что они обладают сопряженной симметрией:

,=

H (s *) H *(s)

т.е. значения функции цепи в сопряженных точках комплексной плос- кости являются сопряженными. Полюсы и нули располагаются либо на вещественной оси, либо в виде комплексно-сопряженных пар симмет- рично относительно вещественной оси.

Из соотношения между функцией цепи и дифференциальным уравнением «вход-выход» следует, что собственные частоты цепи яв- ляются корнями многочлена знаменателя, т.е. полюсами функции.

 

Определение 4. Цепь называется устойчивой, если свободная со- ставляющая реакции затухает до нуля или остается ограниченной при увеличении времени.

Так как свободная составляющая в случае разных собственных ча- стот представляет собой взвешенную сумму экспоненциальных функ- ций с показателями в виде произведения собственных частот на время t, то операторная характеристика устойчивой цепи не может иметь полю- сов в правой полуплоскости, а ее полюсы на оси jω должны быть про- стыми. В противном случае свободная составляющая будет экспонен- циально или по степенному закону возрастать и цепь будет неустойчи- вой. Ограничение на порядок полюсов на оси jω связано с тем, что уже при полюсе 𝑠_𝑘 = 𝑗𝜔 второго порядка в свободной составляющей реак- ции будет содержаться составляющая вида 𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡, которая неограничен- но растет при увеличении времени.

Операторное входное сопротивление и операторная входная  про-

водимость являются взаимно обратными величинами, поэтому входные функции цепи не могут иметь ни полюсов, ни нулей в правой полу- плоскости, а могут иметь лишь простые полюсы и нули на оси jω. Что касается передаточных функций цепи, то их обратные величины не яв- ляются функциями цепи, поэтому ничего нельзя сказать об нулях этих функций. Они могут быть расположены где угодно в комплексной плоскости, лишь бы они были симметричны. Так как полюсы оператор- ных характеристик пассивных цепей на оси jω должны быть  простыми,

то это означает, что порядок многочлена числителя операторной харак- теристики таких цепей не может превышать порядок многочлена зна- менателя более чем на единицу, т.е. m ≤ n +1. В противном случае при s = jω = ∞, будет полюс порядка m – n > 1 и цепь будет неустойчивой.

 

Определение 4. Цепь называется строго устойчивой, если ее реакция при нулевом начальном состоянии остается

ограниченной для любого ограниченного входного воздействия.

 

Необходимым условием строгой устойчивости является располо- жение всех собственных частот (полюсов функции цепи) строго в левой полуплоскости

Строгую устойчивость часто называют ОВОВ устойчивостью, имея в виду, что при ограниченном входе имеет место ограниченный выход.

Цепь может быть устойчивой и одновременно не быть строго устойчивой. Например, пусть 𝐻(𝑠) = 1/𝑠 и входное воздействие имеет

вид

x (t) = 1(t). Функция цепи 𝐻(𝑠) имеет один полюс s = 0, который

расположен на мнимой оси, поэтому цепь будет устойчивой. Реакция цепи при нулевом начальном состоянии будет равна

y (t) = -1                           -1 é1 1ù -1

s 2

ë û

é 1 ù

L [H(s) X(s)] = L           = L         = t1(t).

êë  s s  úû      ê ú

Реакция в данном случае становится как угодно большой при t ® ¥, поэтому данная цепь не является строго устойчивой.

Пассивные цепи состоящие из элементов R, L, C всегда строго устойчи- вы. Цепи без потерь, содержащие L и C, но не содержащие R, имеют полюсы на оси 𝑗𝜔 не могут быть строго устойчивыми. Часто цепи, имеющие полюсы на оси 𝑗𝜔, называют находящимися на границе устойчивости. Если возбудить такую цепь гармоническим воздействием с частотой, равной собственной частоте цепи, то реакция будет не огра- ниченной.