Теорема Ван Циттерта-Цернике

Определим взаимную интенсивность и степень когерентности для двух точек и экрана , освещаемого протяженным немонохроматическим источником (рис.9.9).

Рис. 9.9 – К расчёту взаимной интенсивности и степени когерентности для точек и

Для простоты в качестве возьмем часть плоскости параллельной и предположим, что среда между и однородна. Допустим также, что малы как линейные размеры источника по сравнению с расстоянием , так и углы между прямыми . (S — произвольная точка источника ). Процесс излучения источника будем считать стационарным.

Разобьём источник на элементы (линейные размеры элементов малы по сравнению с ) c центрами в точках . Если и — комплексные возмущения в точках и , обусловленные одним элементом , то общее возмущение (аналитические сигналы) в этих точках равны

следовательно, взаимная интенсивность в этих точках, согласно определению (9.71)

Вторая сумма в (9.92) равна нулю, поскольку возмущения, создаваемые в и разными статистически независимыми элементами источника, некогерентны и средние значения возмущений .

Пусть комплексная амплитуда колебаний источника в равна , тогда очевидно

где и - времена запаздывания, определяемые выражениями

где — скорость распространения волны в среде. Следовательно

где — относительное время запаздывания.

Отметим, что последнее равенство в (9.95) возможно в силу сделанного предположения о стационарности процесса излучения.

Поскольку — медленно меняющаяся функция, то можно полагать, что и тогда (9.92) с учетом (9.95) примет вид:

Величина — представляет собой интенсивность излучения площадки источника. Обозначим площадь через и поверхностную плотность излучения источника (яркость) . Получим, переходя в (9.96) к интегрированию

где — волновое число для средней частоты (длины волны ) квазимонохроматического источника.

Комплексная степень когерентности

где

Отметим, что, если трактовать как яркость элемента , то с фотометрической точки зрения интенсивности и , в силу сделанных допущений, представляют собой освещенности в и от источника .

Формула (9.98) впервые была получена Ван Циттертом и Цернике. Видно, что с точностью до постоянного коэффициента она напоминает дифракционный интеграл в расчете поля в точке , если на отверстие падает сферическая волна, сходящаяся в точке . (Рис. 9.10)

Рис. 9.10 – К вычислению дифракции в точке

Как известно, если на отверстие падает сферическая волна с центром в точке , то поле в точке определяется выражением:

где — поле на отверстии ; — волновое число; — комплексная постоянная.

Несомненное сходство интегралов (9.98) и (9.100) позволило Ван Циттерту и Цернике сформулировать следующее правило.

Теорема Ван Циттерта-Цернике:

Комплексная степень когерентности, которая описывает степень когерентности колебаний в точках P₁ и P₂ плоскости, освещённой протяженным квазимонохроматическим источником равна нормированной комплексной амплитуде в точке P₂ некоторой дифракционной картины с центром в точке P₁. Эта картина получится, если заменить источник дифракционным отверстием такого же размера и формы и заполнить его сферической волной, сходящейся в точке P₁, причем распределение амплитуд по волновому фронту в отверстии должно быть пропорциональным интенсивности (яркости) по источнику.

Теорема Ван Циттерта - Цернике имеет большое практическое значение. Она позволяет рассчитать степень пространственной когерентности от немонохроматического протяженного источника без использования операции временного усреднения аналитических сигналов в точках и .

В большинстве приложений можно считать, что яркость не зависит от положения точки (равнояркий источник). Тогда расчёт комплексной амплитуды в точке сводится к расчёту дифракции волны постоянной амплитуды на отверстии такого же размера и формы как и источник. Пусть — координаты произвольной точки источника, а , координаты точек и в плоскости (рис.9.9). Тогда имеем очевидные соотношения:

Откуда в силу сделанных допущений находим:

В знаменателе подынтегральных выражений (9.98) и (9.100) и можно заменить на . Разность расстояний в экспоненте будет равна:

Обозначим

Тогда (9.98) примет вид:

Это означает, что если размеры источника малы по сравнению с расстоянием до точек и , то степень когерентности равна нормированному преобразованию Фурье от функции, описывающей яркость источника, а знаменатель в (9.104) представляет собой его силу света.

Величина также имеет простое толкование. Для центральной точки источника величина равна разности фаз колебаний в точках и . Если этой величиной можно пренебречь.

Для равнояркого круга радиуса из (9.104) получим (см. главу 7, дифракцию Фраунгофера на круге):

где — функция Бесселя первого рода первого порядка,

— угловое расстояние между и .

График функции приведён на рисунке 9.11. Можно считать, что это график при .

Рис.9.11 – График функции

Из графика видно, что степень когерентности от максимального значения равного единице монотонно уменьшается до значения , при котором . В этом случае точки и находятся на расстоянии:

При дальнейшем увеличении вновь наступает небольшая когерентность, но её степень остаётся меньше .

Полная некогерентность вновь наступает при Проходя через нуль, функция Бесселя каждый раз меняет знак. Это значит, что фаза меняется на , следовательно, после исчезновения полос (переход через нуль) светлые и тёмные полосы меняются местами (обращение контраста). При значение функции Это соответствует расстоянию между точками и :

Считая отклонение в вполне допустимым отклонением от идеального значения, на основании (9.107) можно считать, что равнояркий квазимонохроматический источник с угловым размером почти когерентно освещает площадку в виде круга диаметром

Оценим величину на земной поверхности, освещаемой Солнцем. Если считать Солнце равноярким диском с угловым размером
, то для средней длины волны получаем