Связь между интерферограммой и спектральной плотностью мощности источника света

Как мы уже видели, интерферограмма, получаемая в интерферометре Майкельсона зависит от собственной функции когерентности или от комплексной степени когерентности . В то же время очевидно, что та же интерферограмма определяется формой спектра мощности источника излучения. Возникает вопрос, как связаны между собой спектральная плотность мощности излучения источника и функция или степень собственной когерентности. Ответ на этот вопрос дает теория случайных процессов [1,3], согласно которой функция собственной когерентности выражается через спектральную плотность мощности источника излучения следующим образом.

Следовательно, степень собственной когерентности

где

— нормированная спектральная плотность мощности.

Заметим, что имеет единичную площадь, т.е. , кроме того, поскольку в области отрицательных частот , то можно определить в виде обратного фурье преобразования от функции , т.е.

Действительная часть степени когерентности определяется косинус Фурье преобразованием,

Формулы (9.60), (9.61) и (9.63) дают возможность легко определить форму интерферограммы при известной спектральной плотности мощности источника света.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) Спектральная линия источника имеет гауссовскую форму

Как известно [1,3] гауссоида единичной площади определяется выражением

где — параметр, определяющий ширину гауссоиды.

Запись формулы гауссоиды в таком виде широко используется в теории вероятности при обработке результатов прямых и косвенных измерений, расчетах погрешностей. Вместе с тем при решении многих задач, особенно возникающих в инженерной практике, ширину гауссоиды определяют на уроне половины ее максимального значения, так называемая полуширина гауссоиды. Это означает, что если при некотором значении экспонента в (9.64) принимает значение , то полуширина гауссоиды
.

Таким образом, для определения имеем условие

Отсюда находим

и выражение для спектральной плотности мощности источника принимает вид:

Подвергнув функцию (9.67) обратному преобразованию Фурье, получаем:

Модуль степени когерентности

аргумент

поэтому модуляция фазы .

Интерферограмма при в соответствии с (9.59) имеет вид:

График этой функции при приведен на рисунке 9.8 a).

2) Лоренцевая форма спектральной линии.

В этом случае функция

где, по прежнему, характеризует полуширину спектральной линии.

Формулой (9.71) хорошо описывается естественная ширина спектральной линии излучения осциллятора, а также излучение ансамбля излучателей, находящихся в непрерывном тепловом движении и испытывающих вследствие этого различного рода соударения, приводящие к однородному уширению спектральной линии.

Вычислив обратное преобразование Фурье от , получаем степень собственной когерентности

Модуль этой функции

а модуляция фазы, как и в предыдущем случае равна нулю. Поэтому интерферограмма при имеет вид:

График этой функции при приведен на рисунке 9.8б).

3) Прямоугольная форма спектральной линии.

Иногда в теоретических исследованиях для упрощения анализа используют прямоугольную форму спектральной плотности мощности источника света

Комплексная степень собственной когерентности такого источника имеет вид:

где

Модуль степени когерентности

а девиация фазы испытывает скачки между и , поскольку знакопеременная функция

Интерферограмма для этого случая при и приведена на рисунке 9.8в). Она соответствует выражению

а)

б)

в)

Рис. 9.8 – Интерферограммы для различных источников излучения

Во всех приведенных примерах интерферограммы являются четными функциями и, следовательно . Это универсальное свойство таких интерферограмм: не имеет значения, какая из двух волн отстает от другой.

Далее заметим, что во всех примерах комплексная степень когерентности имеет вид произведения некоторого действительного коэффициента и функции . Это объясняется тем, что тестовые функции были четными относительно переменной (т.е. спектральные линии были симметричными (относительно ). В более общем случае ассиметричного профиля линии коэффициент перед функцией будет комплексным. Это означает, что функция может принимать значения, отличные от и .

Следует обратить внимание на то, что по оси абсцисс: для всех рассмотренных примеров отложено не смещение одного из зеркал, как на рисунке 9.7, а безразмерная величина .

Отметим также, что при значении контраст интерференционной картины становится незначительным. Поэтому в качестве времени когерентности обычно выступает величина

Этим выражением часто пользуются для оценки времени когерентности источника излучения. В теории, однако, используют более строгое определение времени когерентности по Манделю:

Используя (9.81) для рассмотренных случаев 1), 2), 3), получим:

Величина , по существу, характеризует эффективное время волнового цуга. Действительно, контраст интерференционной картины будет достаточно высоким, если относительное время задержки двух волн не превышает . При происходит наложение друг на друга двух волновых пучков, не согласованных между собой по фазе колебаний, и поэтому, являющиеся некогерентными. В результате контраст резко ухудшается. На практике часто используют эффективную длину цуга, т.е. величину , называемую длиной когерентности. Если использовать оценочное соотношение (9.80) и очевидное выражение: , то для длины когерентности можно получить полезную формулу , полностью совпадающую с критической разностью хода . Учитывая, что в данном случае , можно оценить критическое значение величины перемещения зеркала величиной:

Фурье спектроскопия

В разделе 9.4.1 показано, что при известной спектральной плотности мощности источника можно рассчитать вид интерферограммы, определить рекомендуемый диапазон перемещения зеркала, при котором контраст интерференционной картины будет достаточно высоким. На практике, однако, более важной является задача определения функции источника света. Эта задача может быть успешно решена с помощью рассмотренного интерферометра Майкельсона и получаемой с его помощью интерферограммы. Как следует из выражения (9.54), интерферограмма, т.е. сигнал приемника излучения при смещении одного из зеркал интерферометра может быть представлен в виде суммы постоянного сигнала , не зависящего от смещения зеркала и переменного сигнала

где

Если из общего сигнала исключить постоянную составляющую , то его переменная составляющая будет пропорциональна действительной части степени когерентности источника, т.е.

где — коэффициент пропорциональности.

Подвергнув этот сигнал косинус Фурье преобразованию

с учетом (9.63) и предыдущего соотношения получим спектральную плотность мощности источника с точностью до несущественной константы

Таким образом, для нахождения функции следует для каждого положения зеркала (и, следовательно, ) найти переменную часть интерферограммы и вычислить интеграл (9.82). Последняя операция осуществляется компьютером, а определение — независимым датчиком положения зеркала, как правило, интерферометром с высококогерентным источником излучения. Описанный метод интерференционного измерения спектра излучения источника называется методом Фурье спектроскопии, а прибор для реализации данного метода — Фурье спектрометром.

Отметим, что верхний предел интегрирования в (9.82) на практике ограничен конструкционными, эксплуатационными и другими требованиями. Если максимальное значение , где — максимально допустимое смещение зеркала, то можно оценить предельное разрешение и разрешающую способность Фурье спектрометра.

Пусть источник излучения имеет предельно малую полуширину возле центральной длины волны . Такой источник (см. раздел 9.4.2) имеет время когерентности и длину когерентности . Как было показано, основная часть интерферограммы заключена в пределах . Если учесть теперь, что критическая разность хода , то находим, что предельное спектральное разрешение