Пространственная и временная когерентность световых

Пучков

Как уже отмечалось в разделе 1, при взаимодействии частично когерентных волн важное значение имеет вопрос о корреляции колебаний в двух произвольных точках области взаимодействия. Оценить эту корреляцию можно из анализа интерференции волн, исходящих из этих точек.

Рассмотрим волновое поле, образованное протяженным полихроматическим источником  (рис.9.4).

Рис.9.4 – Интерференционный эксперимент

с протяженным полихроматическим источником

 

Пренебрежем эффектами поляризации и будем считать световое возмущение в произвольной точке  вещественной скалярной функцией положения точки и времени , где  обозначает координаты соответствующей точки. Функции  поставим в соответствие аналитический сигнал . Поскольку любой детектор регистрирует лишь средние значения интенсивности поля за время , в течение которого  много раз меняет знак, то наблюдаемая интенсивность  пропорциональна среднему значению функции , т.е. с точностью до несущественного коэффициента пропорциональности равна

где скобки  означают усреднение по времени значительно большему максимального периода колебаний источника излучения.

Действительно, т.к. , то справедливо равенство

и после усреднения получаем

т.к.  (средние значения квадратов аналитического сигнала и его комплексного сопряжения равны нулю).

Рассмотрим теперь две точки  в волновом поле. Можно экспериментально определить не только , но и интерференционные эффекты, возникающие при суперпозиции колебаний, исходящих из этих точек. Представим себе, что в исследуемом поле помещен непрозрачный экран  с малыми отверстиями в  и рассмотрим распределение интенсивности на втором экране . Для простоты будем считать, что показатель преломления среды между экранами равен единице . Пусть расстояния от точек  до некоторой точки  экрана  равны  соответственно. Точки  можно считать вторичными источниками возмущений, поэтому комплексное возмущение в точке  запишется в виде:

где  — времена запаздывания, т.е. распространения света от точек  до точки , соответственно, т.е.

где  — скорость света в вакууме.

Коэффициенты , учитывающее изменение амплитуды колебаний сферических волн с центрами в точках , обратно пропорциональны . Кроме того эти коэффициенты зависят от размеров отверстий в , геометрии устройства и являются чисто мнимыми величинами, поскольку фаза вторичных колебаний отличается на  от фазы первичной волны в этих точках.

Обозначим

Тогда из (9.19) и (9.20) получим

Будем считать, что поле стационарно, т.е. во всех этих выражениях можно изменить начало отсчета времени, тогда (9.22) примет вид:                             

Здесь

интенсивности колебаний в точках ,

где

            

Если использовать (9.25) и учесть, что  — чисто мнимые величины, то выражение (9.23) можно записать в виде:

где  — действительная часть функции

Понятие, введенное соотношением (9.28), является основным в теории частичной когерентности. Функция  называется комплексной функцией взаимной когерентности волнового поля. Она характеризует корреляцию колебаний в точках , причем колебания в точке  рассматриваются в момент времени, запаздывающим на величину  по сравнению с моментом времени колебаний в точке . Когда обе точки совпадают , то функция

называется функцией собственной когерентности или функцией автокогерентности. Легко видеть, что имеют место выражения

Очевидно, что величины

 представляют собой интенсивности колебаний в точке  при открытых отверстиях в точке  и в точке , соответственно. С учётом этого выражение (9.27) можно записать в виде:

Введем функцию

которая называется комплексной степенью взаимной когерентности, тогда (9.31) запишется в виде:

Это соотношение выражает общий закон интерференции для стационарных оптических полей. Оно показывает, что для определения интенсивности, возникающей при суперпозиции двух пучков, необходимо знать интенсивность каждого пучка в точке  и значения реальной части комплексной степени когерентности . Отметим, что введенные функция  и степень  взаимной когерентности, характеризуют как пространственную когерентность колебаний в точках , так и временную когерентность, определяемую зависимостью этих функций от времени запаздывания .

В отличие от возмущения  корреляционные функции  и  можно определить из интерференционного эксперимента. Например, чтобы найти функцию  для любой заданной пары точек  и любого значения  в световое поле помещают непрозрачный экран с отверстиями в  и измеряют интенсивность  в некоторой точке  позади экрана, для которой

Затем отдельно измеряют  и  — интенсивности в точке  от каждого из отверстий и с учетом (9.33) вычисляют

Для нахождения  следует также измерить интенсивности  колебаний в точках . Тогда с учетом (9.32) найдем

Сравним полученные результаты с известными соотношениями двулучевой интерференции монохроматических пучков. Как известно (глава 8), интенсивность в произвольной точке поля интерференции определяется выражением:

где  — разность фаз интерферирующих волн;  — оптическая разность хода.

Аналогия между (9.33) и (9.36) будет более наглядной, если степень когерентности представить, как аналитический сигнал, в виде

где  — аргумент степени взаимной когерентности.

Тогда

где .

С учетом (9.38) выражение (9.33) принимает вид

Как видно, аналогия между (9.39) и (9.36) весьма существенна, особенно, если учесть что  и  — медленно меняющиеся функции по сравнению с .

Из теории случайных процессов следует, что для степени взаимной когерентности выполняются условия

При  и  выражение (9.39) полностью соответствует (9.36). В другом предельном случае  из (9.39) получаем:

т.е. выполняется принцип суперпозиции для интенсивностей, следовательно, интерференция отсутствует.

Определим контраст  интерференционной картины. По определению

где  — минимальная и максимальная интенсивности функции .

Из (9.41) получаем

Из этого выражения следует, что помимо интенсивностей интерферирующих пучков контраст в значительной степени зависит от их степени когерентности. При равенстве интенсивностей  из (9.42) следует

т.е. контраст целиком определяется степенью когерентности.

Таким образом, контраст интерференционной картины в окрестности точки  однозначно определяет модуль степени взаимной когерентности. Для нахождения самой функции  необходимо вычислить девиацию фазы — функцию . Это можно сделать путем сравнения фазы переменных частей функций (9.39) и (9.36), измерив, например, смещения максимумов полос , получающихся при освещении квазимонохроматическим источником и монохроматическим источником с длиной волны . Действительно, если положение максимумов полос во втором случае определяется условием:

а в первом

где  — величина смещения максимума в долях ширины полосы , т.е.

то из (9.44)−(9.46) находим

Для произвольного положения точки  ширина полосы , где
 — угол сходимости интерферирующих пучков, поэтому

Изложенная теория будет справедливой и в том случае, когда два интерферирующих пучка получаются из первичного пучка не путем деления волнового фронта в точках , а путем деления амплитуды в непосредственной близости к одной точке , например, в интерферометре Майкельсона. Этот случай будет подробно рассмотрен в следующем разделе.

 

 

9.4 Временная когерентность

Общие положения

Снова обратимся к интерферометру Майкельсона, рассмотренному в главе 8 и рассмотрим его работу в режиме колец равного наклона при немонохроматическом источнике излучения  (рис. 9.5).

Рис. 9.5 – Интерферометр Майкельсона как анализатор временной когерентности

Свет от полихроматического источника  пройдя линзу  делится светоделителем  на два пучка, один из которых падает на зеркало , другой, пройдя компенсатор  — на . Отразившись от зеркал пучки вновь объединяются на светоделителе и падают на линзу , которая фокусирует их в точке , где находится приемник излучения ПИ. Результат интерференции пучков в точке  зависит от оптической разности хода  лучей в двух плечах интерферометра. Компенсатор  предназначен для уравнивания оптических длин хода в стекле для всех длин волн полихроматического источника. Поэтому результат интерференции будет зависеть лишь от разности воздушных промежутков  плеч интерферометра, т.е. .

Пусть источник света достаточно узкополосный (рис. 9.6). Частота  соответствует максимальной плотности мощности источника излучения.

Рис.9.6 – Спектральная плотность мощности полихроматического источника

Протяженный спектр источника можно рассматривать как совокупность множества монохроматических излучений различных частот (см. рис.9.6). Будем считать исходным положением зеркала  интерферометра такое, при котором , т.е. оптическая разность хода . В этом случае для всех монохроматических компонент выполняется условие максимума интенсивности при интерференции. В этом положении интенсивность в точке  принимает наибольшее значение. При смещении зеркала  на величину  (положение ) положение существенно меняется. Это связано с тем, что для каждой отдельной монохроматической компоненты значение , при котором достигается её интерференционный максимум будет различным. Например, для длины волны  из всего спектра излучения условие максимума интерференции имеет вид (глава 8):

где  . Поскольку  , то положение интерференционных максимумов каждой компоненты будет определяться условием:

Зависимость общей интенсивности излучения  в точке  и, следовательно, сигнала приемника излучателя от смещения зеркала  называется интерферограммой. Учитывая  вышеизложенное, следует ожидать, что максимумы результирующей интенсивности интерференции света от немонохроматического источника будут уменьшаться с увеличением  и в пределе интерферограмма выйдет на некоторый постоянный уровень (рис. 9.7).

Рис. 9.7 – Интерферограмма двухлучевой интерференции от

немонохроматического источника излучения

 

Рассмотрим этот вопрос более подробно с использованием теории частичной когерентности. Пусть  — реальное возмущение в произвольной точке  поверхности светоделителя, создаваемое падающей первичной волной, а  – ассоциированный с ним аналитический сигнал. Тогда аналитические сигналы, описывающие возмущение в точке  при отражении света от зеркал  будут соответственно равны

где  — действительные коэффициенты, учитывающие уменьшение амплитуды колебаний за счет потерь на светоделителе и зеркалах;  — времена распространения света первого и второго пучка до точки .

Суммарное поле в точке

Интенсивность поля и, следовательно, пропорциональный ей сигнал источника излучения определим следующим образом:

где  скобки  также означают усреднение по времени значительно большему максимального периода колебаний источника излучения.

Используя сделанные в предыдущем разделе допущения о стационарности оптических полей и проводя аналогичные преобразования, соотношение (9.51) можно привести к виду:

где  — интенсивность света источника на светоделителе;  — время запаздывания;
 — комплексная функция собственной когерентности, автокорреляционная функция аналитического сигнала,  — действительная часть этой функции.

Выражение (9.52) можно записать в виде, аналогичном (9.33):

где

 интенсивности в точке  от первого и второго плеч интерферометра,  — реальная часть комплексной степени когерентности

Представим степень когерентности в виде аналитического сигнала

где модуль  и девиация фазы  — медленно меняющиеся функции по сравнению с функцией .

Тогда

где

Контраст интерференционной картины, согласно определению (9.41)

т.е. как и в методе деления волнового фронта зависит не только от интенсивности интерферирующих пучков, но и от их степени когерентности. При  контраст целиком определяется модулем степени когерентности, .

Следует отметить, что введенные в этом разделе функции собственной когерентности  и степени собственной когерентности  характеризуют когерентность колебаний в зависимости от времени запаздывания, т.е. характеризуют лишь временную когерентность. Эти функции применяются к любой точке поля от первичного источника: от самого источника до светоделителя. В теории случайных процессов  доказывается, что  монотонно убывающая функция, заключенная в пределах . При этом максимальное значение  она принимает при , минимальное  при .

При увеличении разности хода  когерентность пучков уменьшается. Если контраст интерференционной картины падает почти до нуля, мы говорим, что оптическая разность хода превышает длину когерентности света или иначе, относительное время задержки волн стало больше времени когерентности. Таким образом, понятие временной когерентности связано со способностью двух световых лучей, обладающих относительной задержкой, создавать интерференционную картину.

Функции  и  и, следовательно,  и также могут быть определены из интерференционного эксперимента. Алгоритм нахождения этих функций подобен алгоритму определения функций  и , который подробно описан в предыдущем разделе, поэтому здесь на этом вопросе мы останавливаться не будем.

Рассмотрим более подробно функцию  при . Тогда интенсивности  и выражение (9.40) принимает вид

Это есть аналитическое выражение для интерферограммы — сигнала приемника излучения при смещении одного из зеркал интерферометра на величину  от нулевого положения. Оно хорошо согласуется с графиком функции , представленном на рисунке 9.7. В окрестности нуля  и интерферограмма  представляет собой косинусоиду, колеблющуюся относительно среднего значения  в пределах от нуля до . С увеличением оптической разности хода амплитуда модуляции  падает от единицы до нуля и, кроме того, интерференционная  структура может подвергаться фазовой модуляции , обусловленной формой спектра источника света.