Комплексное представление вещественных полихроматических полей

В этом разделе мы покажем, каким образом можно представить колебания в комплексной форме, если известна вещественная функция, описывающая колебания в некоторой точке  волнового поля от полихроматического источника. Сначала отметим, что в случае, когда волновое поле создаётся монохроматическим источником излучения частотой , функции, описывающие действительный сигнал  в некоторой точке  и её комплексная форма  имеют вид [1]:

где  — амплитуда колебаний одного из векторов электромагнитного поля (в дальнейшем, как правило, электрического вектора );  — начальная фаза колебаний.

Прежде всего, отметим, что  есть действительная часть функции . Определим теперь различие спектров Фурье этих функций. Для этого по формуле Эйлера  преобразуем сначала функцию (9.1) к виду

и выполнив Фурье преобразование функции (9.3), получим

Спектр этой функции представлен на рисунке 9.1а) Фурье преобразование функции (9.2) имеет вид:

График этой функции изображен на рисунке 9.1б).

 

а)	б)
Рис. 9.1 – Спектры функций  и

 

Как следует из выражений (9.4) и (9.5), различие в спектрах действительного сигнала и его комплексного представления заключается в том, что в первом из них присутствуют как положительные, так и отрицательные частотные гармоники, в то время как во втором отрицательные спектральные гармоники отсутствуют, а амплитуда положительной гармоники в два раза больше соответствующей гармоники вещественного сигнала.

Используем описанный алгоритм для нахождения комплексного представления сигнала от заданного полихроматического источника. Пусть
 — вещественная функция, описывающая колебания в некоторой точке  полихроматического источника. Определим комплексное представление этой функции. Для этого сначала найдём её Фурье-образ.

Следуя алгоритму, обнулим амплитудный спектр функции (6) в области отрицательных частот и удвоим его в области частот положительных. Это легко делается с помощью функции

Фурье-образ комплексного представления функции  находится следующим образом

Само комплексное представление вещественного сигнала (аналитический сигнал) определяется путём обратного Фурье-преобразования функции (9.8), т.е.

Второй член в правой части (9.9) является мнимой величиной, поскольку представляет собой обратное Фурье-преобразование от нечётной функции, поэтому окончательно выражение для аналитического сигнала можно записать в виде

где

— мнимая часть комплексного представления.

Для наглядности описанный алгоритм представлен на рис. 9.2.

Рис. 9.2 – Алгоритм определения комплексного представления  сигнала

Известно [1], что мнимая и действительная часть аналитического сигнала связаны прямым и обратным преобразованием Гильберта:

где интегралы в (9.12) берутся в смысле главного значения по Коши.

Рассмотренный метод определения комплексного представления волнового поля от заданного вещественного колебания  может быть использован для любого полихроматического источника. На практике чаще всего рассматриваются источники излучения, имеющие спектральный диапазон  узкий по сравнению со средней частотой несущей , т.е. .

В этом случае действительный сигнал может быть записан в виде

где амплитуда  и начальная фаза  являются медленно меняющимися функциями по сравнению с гармонической функцией . В таком виде могут быть записаны, например, затухающие колебания, в которых амплитуда (огибающая) изменяется по закону

где  — коэффициент затухания.

Функция (9.13) и её Фурье-образ представлены на рисунке 9.3.

 

а)	б)
Рис. 9.3 – Функция  затухающих колебаний и её спектр Фурье

 

Полуширина  спектра зависит от значения  и при малых значениях коэффициента затухания выполняются условие:

В этом случае аналитический сигнал также определяется соотношением (9.10), в котором мнимая часть

Таким образом, окончательно аналитический сигнал можно записать в виде

где  — модуль аналитического сигнала;  — его аргумент.

В случае широкополосного источника излучения  аналитический сигнал  также позволяет определить действительную амплитуду колебаний:

и функцию

В этом случае важно иметь в виду, что функция  не является огибающей действительного переменного сигнала. Это понятие следует использовать только для узкополосных сигналов, т.е. при условии .