Звёздный интерферометр Майкельсона

Майкельсон в 1890 г. предположил схему интерферометра, позволяющего определять угловые размеры астрономических объектов, (рис.9.12).

Рис.9.12 – Схема звёздного интерферометра Майкельсона

Свет от звезды падает на два зеркала и и с помощью зеркал и направляется на две щели и , находящиеся перед объективом . В заднем фокусе объектива (в точке ) происходит наложение интерферирующих пучков. Пластинка предназначена для сведения пучков в одну точку, а пластинка (переменной толщины) для компенсации неравенства оптических путей. Эта компенсация необходима, т.к. полосы в белом свете видны только в области нулевого порядка (при условии ). Расстояние между зеркалами может изменяться путём механического перемещения. Если для выбранной звезды, то контраст интерференционной картины близок к единице. При дальнейшем увеличении контраст уменьшается и при становится равным нулю. Значение по (9.106) позволяет определить угловой размер звезды. По теории, при снова возникает интерференция с малым и обращенным контрастом, однако из-за влияния турбулентности атмосферы эта область практически не использовалась. Первой звездой, угловые размеры которой были измерены, была Бетельгейзе ( Ориона). Полученная величина оказалась равной . Измеренная величина составила .

Максимальная величина , построенного Майкельсоном интерферометра, была равной , поэтому Майкельсон смог определить угловые размеры сравнительно небольшого количества звезд, для которых . Тем не менее интерференционный метод Майкельсона измерения диаметров небесных тел был очень весомым вкладом в астрономическую науку, поскольку во много раз превышал возможности оптических телескопов того времени.

Рассмотрение в настоящей главе основ теории интерференции и дифракции частично когерентного света имеют большое познавательное и практическое значение. Эта теория восполняет пробел между волновыми явлениями когерентного и некогерентного света, наблюдающийся во многих пособиях по физической оптике. Отмеченные здесь примеры практического использования этой теории: определение угловых размеров небесных тел и Фурье-спектроскопия – являются лишь малой частью уже реализованных и перспективных её возможностей.

К сожалению, формат учебного пособия и его назначение не позволяют отразить в нём все особенности интерференции и дифракции от протяжённых квазимонохроматических источников. Для более глубокого изучения волновых свойств частично когерентного света, поляризации, образования изображения и других, советуем читателю обратиться к специальным монографиям и пособиям [1,3,5], где эти вопросы рассматриваются в более широком аспекте как с точки зрения используемого математического аппарата, так и многообразия областей проявления свойств частично когерентного света.

Задачи и примеры

Задача 1. Комплексная функция взаимной когерентности в точках и

где — некоторый постоянный коэффициент; ,
— полярные координаты точек и , а ; — их координаты; — центральная частота квазимонохроматического источника;
— относительная задержка колебаний в точках; — коэффициенты, определяющие области пространственной и временной когерентности. Для точек и с заданными координатами ,
, , , и произвольной определить:

a) интенсивности .

b) степень взаимной когерентности и значение её модуля.

c) взаимную интенсивность и степень когерентности .

Решение: По определению интенсивности равны

a) Степень взаимной когерентности:

поэтому

b) Взаимная интенсивность

Степень когерентности .

Задача 2. В интерферометре, работающем по методу деления амплитуды, интерферируют два квазимонохроматических пучка с интенсивностями
, . Определить контраст интерференционной картины в области наложения пучков, если модуль степени когерентности пучков .

Решение: Интенсивность при интерференции квазимонохроматических пучков описывается выражением:

где — центральная частота света; — девиация фазы.

Контраст интерференционной картины:

Из (9.109) следует, что

поэтому из (9.110) находим:

Задача 3. Спектральная плотность яркости источника света в интерферометре Майкельсона представляет собой совокупность двух монохроматических компонент с частотами и равной интенсивности. При этом , где
— центральная частота: — разность частот . Определить интерферограмму, регистрируемую приемником излучения при перемещении одного из зеркал интерферометра. Считать, что интенсивности света от двух ветвей интерферометра одинаковы: .

Решение: Интерферограмма представляет собой зависимость сигнала приемника излучения (т.е. интенсивности света) от смещения зеркала. В данном случае эта зависимость имеет вид:

где — относительная временная задержка колебаний ( — смещение зеркала, — скорость света).

Спектральную плотность мощности источника представим в виде:

Это возможно, т.к.

Используем связь между степенью собственной когерентности и функцией

Последнее равенство в (9.113) получено на основании использования известного фильтрующего свойства — функции, а именно:

Из (9.113) имеем:

Окончательно из (9.111) получаем:

где .

График этой функции при представлен на рисунке 9.13. Его полезно сравнить с графиками на рисунках 9.8 а),б),в).

Рис. 9.13 – График интерферограммы

Задача 4. В Фурье спектрометре при перемещении одного из зеркал зарегистрирована интерферограмма , переменная составляющая которой имеет вид:

где ; — смещение зеркала; — скорость света; — константы. Определить спектральную плотность яркости источника, ширину его спектра, оценить время когерентности.

Решение: Спектральная плотность мощности источника с точностью до несущественной постоянной определяется следующим образом:

Используем известное свойство Фурье преобразования:

где В нашем случае Преобразование Фурье этой функции известно.

поэтому с учетом (9.115) из (9.114) получаем:

Эта функция представляет собой сумму двух идентичных функций, симметричных относительно нулевой частоты , одна из которых с центром располагается в области отрицательных частот, а другая с центром — в области положительных частот. Первая из этих функций не имеет физического смысла, поэтому окончательно для спектральной плотности яркости получаем:

График этой функции приведен на рисунке 9.14

Рис.14 – Спектральная плотность яркости квазимонохроматического источника

Максимальное значение достигает в точке , где . Для нахождения ширины спектра найдем полуширину на уровне . Для этого решим уравнение:

Отсюда имеем:

Корни этого уравнения

следовательно ширина спектра источника на уровне :

Последнее выражение даст возможность оценить время когерентности источника.

Примечание:

Более точное значение можно получить на основании раздела 9.4.2 главы. Так как функция представляет собой гауссоиду, то

Задача 5. Две точки и освещаются квазимонохроматическим равноярким источником в виде полосы шириной (рис. 9.15).

Рис. 9.15 – К расчёту степени когерентности

Координаты точек в плоскости :

Расстояние между плоскостями источника и равно .

Центральная длина волны источника . Определить комплексную степень когерентности колебаний в точках и , расстояние между точками, при котором и расстояние , при котором .