Кольцо многочленов от нескольких переменных

ГРУППОИД

- универсальная алгебра с одной бинарной операцией. Г.- самый широкий класс таких алгебр; группы, полугруппы, квазигруппы - все это Г. специального вида. Важным понятием для Г. является понятие изотоп и и операций. Пусть на множестве Gопределены две бинарные операции, обозначаемые (Х) и (о), они изотопны, если существуют такие три взаимно однозначных отображения множества Gна себя, что для любых . Г., изотопный квазигруппе, сам является квазигруппой; Г. с единицей, изотопный группе, изоморфен этой группе. Поэтому понятием изотонии в теории групп не пользуются, для групп изотония совпадает с изоморфизмом.

Группоид с сокращением - это Г., в к-ром любое из равенств влечет (а, 6, с - элементы Г.). Каждый Г. с сокращением вложим в квазигруппу. Гомоморфный образ квазигруппы - группоид с делением, т. е. Г., в к-ром уравнения разрешимы (но не обязательно однозначно).

Множество с одной частичной (т. е. определенной не для всяких пар элементов) бинарной операцией наз. частичным группоидом. Каждый частичный подгруппоид свободного частичного Г. свободен.

Магма (группоид) в общей алгебре — алгебра, состоящая из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.

Термин «магма» был предложен Бурбаки. Термин «группоид» старше, он предложен Ойстином Оре, однако этот термин также относится к другой общалгебраической структуре — теоретико-категорному группоиду, и в более современной литературе чаще используется в этом смысле.

Типы магм

Как таковые магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы магм, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:

• квазигруппа — непустая магма, в которой всегда возможно деление;
• петля или лупа — квазигруппа с нейтральным элементом;
• полугруппа — магма с ассоциативной операцией;
• моноид — полугруппа с нейтральным элементом;
• группа — моноид с обратным элементом или, что то же, ассоциативная петля (всегда являющаяся квазигруппой);
• абелева группа — группа с коммутативной операцией.

ПОЛУГРУППА

В математике полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией . Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом. Следует отметить, что любую полугруппу , не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент и определив полученный моноид обычно обозначается как .

Примеры полугрупп

• Положительные целые числа с операцией сложения.
• Любая группа является также и полугруппой.
• Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
• Множество всех отображений множества в себя с операцией суперпозиции отображений.
• Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией умножения бинарных отношений.
• Множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации (присоединения)

3. ГРУППА

Гру́ппа в математике — множество элементов с определённой на нём ассоциативной бинарной операцией, унарной операцией взятия обратного элемента и выделенным нейтральным элементом, связанное некоторыми естественными свойствами — групповыми аксиомами^[⇨]. Ветвь общей алгебры занимающаяся группами, называется теорией групп.

· Наиболее известный пример группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых также даёт целое число, число с противоположным знаком даёт обратный элемент, а роль нейтрального элемента играет нуль. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат.

Непустое множество с заданной на нём бинарной операцией называется группой , если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: ;
2. наличие нейтрального элемента: ;
3. наличие обратного элемента:

Примеры

• Целые числа с операцией сложения. — коммутативная группа с нейтральным элементом 0.

• Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.

• Свободная группа с двумя образующими () состоит из пустого слова, которое мы обозначаем (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов и таких, что не появляется рядом с и не появляется рядом с . Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар и .

• Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

• Циклические группы состоят из степеней одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

• Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы S₄₈, элементы которой соответствуют движениям кубика Рубика. Композиция двух движений снова является движением, для каждого движения существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент.

КОЛЬЦО

Определение

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых :

1. — коммутативность сложения;
2. — ассоциативность сложения;
3. — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. — ассоциативность умножения;
6. — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра , такая что алгебра — абелева группа, и операция дистрибутивна слева и справа относительно .

Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

• наличие единицы: (кольцо с единицей);
• коммутативность умножения: (коммутативное кольцо);

Иногда под (ассоциативным) кольцом понимают кольцо с единицей. Но имеются примеры колец без единицы. Легче всего их построить как идеалы в кольце, не содержащие ненулевых идемпотентов, например кольцо чётных чисел, или многочленов степени 1 и выше.

Простейшие свойства

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

• Нейтральный элемент относительно сложения в кольце единственен. Для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен.
• , то есть 0 — поглощающий элемент по умножению.
• , где — элемент, обратный к по сложению.
• 

Примеры

• — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей. Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения теории категорий, так как при этом в категориях колец возникает терминальный объект.
• — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над . Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.
• — кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое. Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p -адических чисел.
• — кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел и p -адических чисел , где p — произвольное простое число.
• Для произвольного коммутативного кольца можно построить кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в . В частности, . Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: .
• Кольцо бесконечно гладких вещественнозначных функций на многообразии — это коммутативное кольцо с единицей. Умножение и сложение в нём определяются поточечно:

Нулевой элемент — функция, тождественно равная 0, единичный — тождественно равная 1. Обратимыми элементами в нём являются нигде не равные 0 функции, делителями нуля — функции, равные 0 на некотором открытом множестве в . Это кольцо не имеет нильпотентов, так как их нет в , а умножение поточечно. Если компактно, то максимальными идеалами в нём являются множества функций, зануляющихся в данной точке:

причём максимальные идеалы совпадают с простыми.

• Кольцо подмножеств множества — это кольцо, элементами которого являются подмножества в . Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:

Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё . Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть . Любой элемент является своим обратным по сложению: . Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей.

• Кольцо когомологий — это важный топологический инвариант, связанный с любым топологическим пространством.
• Если — кольцо в категории , то множество является кольцом (в обычном смысле) для любого объекта .
• Кольцо периодов — множество чисел, которые могут быть выражены как объём области в заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами.

РАДИКАЛ КОЛЬЦА

Правило , сопоставляющее каждому кольцу некоторый идеал , такой что

1. ;
2. ;
3. для любого гомоморфизма колец имеет место включение ,

называется радикалом ¹⁾ кольца.

Для кольца идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из . При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из . Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал.

Более точно: Идеалом кольца называется такое подкольцо кольца , что

1. произведение (условие на правые идеалы);
2. произведение (условие на левые идеалы).

Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.

РАДИКАЛ ИДЕАЛА

Радикал идеала I — это множество . Оно тоже является идеалом кольца A, если только кольцо A коммутативно. В случае, когда I=(0), этот идеал называется нильрадикалом кольца A. Его элементами являются все нильпотентные элементы кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля, (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется радикальным. Идеал I называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом. В этом случае факторкольцо R/I не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.

ПОЛЕ

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция или сложение) и (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

• Характеристика поля всегда 0 или простое число.
• Поле характеристики 0 содержит , поле рациональных чисел.
• Поле характеристики p содержит , поле вычетов по модулю .
• Количество элементов в конечном поле всегда равно , степени простого числа.
• При этом для любого числа вида существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из элементов, обычно обозначаемое .
• Любой гомоморфизм полей является вложением.

Примеры

       — рациональные числа,

— вещественные числа,

— комплексные числа,

— поле вычетов по модулю p, где p — простое число.

— конечное поле из элементов, где p — простое число, k — натуральное.

Дистрибути́вность (от латинского distributivus — «распределительный») — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если для любых трех элементов :

— дистрибутивность слева;

— дистрибутивность справа.

АЛГЕБРА

Алгебра (универсальная алгебра) — множество , называемое носителем алгебры, снабжённое набором -арных алгебраических операций на , называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.

Свойства

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если — гомоморфизм алгебр, а — ядерная конгруэнция (то есть , то факторалгебра изоморфна .

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов , моноид эндоморфизмов , решётка подалгебр , решётка конгруэнций , в частности, показано, что для любой группы и решёток и существует такая универсальная алгебра , что , , .

Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение

Многочлен от n переменных X ₁,…, X_n с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = (α ₁,…, α_n), где каждое α_i — ненулевое целое число, пусть

X^α называется одночленом степени . Многочлен — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K: .

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k [ x ₁,…, x_n ]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k [ x ₁, x ₂] изоморфно k [ x ₁][ x ₂], как и k [ x ₂][ x ₁]. Это кольцо игрет фундаментальную роль в алгебраической геометрии. Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.