Симметрический многочлен

Симметри́ческий многочле́н — многочлен от n переменных , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.

Примеры

• Дискриминант — многочлен вида , где — корни некого многочлена от одной переменной: .

• Степенные суммы — суммы одинаковых степеней переменных, то есть

• Основные симметрические многочлены — многочлены вида

определённые для , то есть такие:

ПОРЯДОК ЭЛЕМЕНТА ГРУППЫ

Описание

Пусть — группа и — элемент группы.

Определение 1. Говорят, что имеет порядок ¹⁾ , если — наименьшее положительное число такое, что , то есть . Если такого положительного не существует, то говорят, что имеет бесконечный порядок ²⁾. Порядок единичного элемента считается равным нулю.

Предложение 1. Пусть — конечная группа и — некоторый ее элемент. Тогда делит порядок группы .

Примеры

• В множестве целых чисел любой ненулевой элемент имеет бесконечный порядок.
• В группе классов вычетов элементы и имеют порядок 6, элементы и — порядок 3, элемент — порядок 2.

Определение:

Порядком элемента группы называется наименьшее , что . Если такого не существует, то говорят, что порядок бесконечен.

• Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.
• Порядок элемента в группе вычетов по модулю конечен и равен двум, поскольку .

Утверждение:

В конечной группе у всех элементов конечный порядок.

Действительно, необходимо при некоторых совпадение степеней (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок не больше : .

 

Определение:

-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа . Порядок разных элементов может быть разным.

• Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: .
• Циклическая группа порядка .

ПОРЯДОК ГРУППЫ

Пусть — группа, если — конечное множество, то порядком группы называется число элементов и обозначается или . Если — бесконечно, то порядок бесконечен.

СМЕЖНЫЙ КЛАСС

СМЕЖНЫЙ КЛАСС группы. но подгруппе Н(л евый) - множество элементов группы G, равное где а - нек-рый фиксированный элемент из G. С. к. наз. также левосторонним С. к. группы G по подгруппе Н, определяемым элементом а. Всякий левый С. к. определяется любым из своих элементов. aН=H тогда и только тогда, когда Для любых С. к. aН и bН либо совпадают, либо не пересекаются. Таким образом, группа G распадается на непересекающиеся левые С. к. по подгруппе Н - это разложение наз. левосторонним разложением группы Gпо подгруппе H. Аналогично определяются правые смежные классы (множества На, ) и правостороннее разложение группы G по подгруппе H. Оба разложения - правостороннее и левостороннее - группы G по Нсостоят из одного и того же числа классов (в бесконечном случае совпадают мощности множеств этих классов). Это число (мощность) наз. индексом подгруппы. в группе G. Для нормальных делителей левостороннее и правостороннее разложения совпадают, и в этом случае говорят просто о разложении группы по ее нормальному делителю.