2020-08-05
105
Задача 2.1. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей: 
Решение. Прямая задана общими уравнениями (2.1). Найдем какую-нибудь точку 
на прямой. Выберем, например, 
. Другие координаты получим из системы уравнений 
Очевидно, что 
. Следовательно, 
. Затем находим направляющий вектор 
прямой. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то вектор ортогонален нормальным векторам этих плоскостей, т. е. 
(рис. 2.1). Поэтому за направляющий вектор можно принять
.
Подставляя координаты направляющего вектора 
и точки 
в уравнения прямой (2.3), получим
.
Ответ: 
.
Полезная формула. Если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:
то ее направляющий вектор можно выбрать в виде
. (2.6)
Задача 2.2. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку 
и параллельной вектору 
.
Решение. Известны точка и направляющий вектор прямой.
Согласно формуле (2.2) параметрические уравнения прямой имеют вид
Канонические уравнения получаем, используя формулу (2.3):
.
Ответ: 
.
Задача 2.3. Найти направляющий вектор прямой 
: 
Решение. Прямая 
проходит через точку (2, 4) на плоскости 
и параллельна оси 
(рис. 2.2). Очевидно, что ее направляющий вектор можно выбрать в виде 
(0, 0, 1).
Ответ: 
(0, 0, 1).
Задача 2.4. Найти косинусы углов, которые образует с осями координат прямая
.
Решение. Обозначим через 
, 
косинусы углов прямой с осями 
, 
и 
соответственно. Они, очевидно, равны направляющим косинусам вектора прямой. Из уравнений прямой находим 
.
Следовательно,
; 
; 
.
(Напомним, что 
Ответ: 
Задача 2.5. Найти косинус острого угла между прямыми
: 
; 
: 
.
Решение. Из уравнений прямых вытекает, что направляющий вектор прямой 
равен 
, направляющий вектор прямой равен 
. Для удобства вычислений направляющий вектор прямой выберем в виде 
. Он коллинеарен исходному. Используя формулу (2.5), получаем 
Ответ: 
Задача 2.6. Показать, что прямая 
перпендикулярна прямой
Решение. Направляющий вектор первой прямой, очевидно, равен 
, направляющий вектор второй прямой 
найдем с помощью формулы (2.6):
.
Вычислим скалярное произведение векторов 
и 
Ответ: прямые перпендикулярны.
Задача 2.7. Проверить, лежат ли три данные точки 
, 
и 
на одной прямой.
Решение. Напишем уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 
и 
, согласно формуле (2.4). Получим
.
Проверим, удовлетворяют ли координаты точки 
этим уравнениям. После подстановки 
получаем: 
Следовательно, точка 
не лежит на прямой.
Ответ: не лежат.
Задача 2.8. Найти канонические уравнения прямых 
, проходящих через точку 
параллельно: 1) оси ; 2) оси ; 3) оси .
Решение. Найдем уравнения прямой 
, проходящей через точку параллельно оси . Ее направляющий вектор 
можно выбрать в виде 
(рис. 2.3).
Используя формулу (2.3), получим
: 
.
Таким же образом находим и 
.
: 
, 
;
: 
, 
.
Ответ: : 
; : 
; : 
.
Задача 2.9. Найти точки пересечения прямой 
: 
с плоскостями координат.
Решение. Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью 
, в канонических уравнениях прямой следует положить 
. Получим 
, откуда 
, 
. Таким образом, прямая пересекает плоскость в точке 
. Аналогично находим точки пересечения с плоскостями 
и 
.
Ответ: 
; 
; 
.
Задача 2.10. Известны координаты вершин тетраэдра: 
. Составить канонические уравнения его ребер и найти их длины.
Решение. Условие такое же, как и в задаче 1.10 (рис. 2.4). Найдем уравнения ребра 
. Для этого подставим координаты вершин 
и 
в формулу (2.4). Получим 
. Теперь можно определить длину ребра 
:
.
Уравнения и длины остальных ребер найдите самостоятельно.
Ответ: 1) : 
, 
;
2) 
: 
, 
;
3) 
: 
, 
;
4) 
: 
, 
;
5) 
: 
, 
;
6) 
: 
, 
.
Задача 2.11. Найти точку пересечения двух прямых
: 
: 
.
Решение. Перепишем уравнения прямых в параметрическом виде
: 
: 
Для нахождения точки пересечения этих прямых нужно решить систему уравнений:
Очевидно, она имеет единственное решение 
Подставляя значение параметра 
в параметрические уравнения прямой 
(или 
в уравнения прямой 
), получим 
Ответ: 
.
Задача 2.12. Найти биссектрису 
острого угла между прямыми
: 
; : .
Решение. Точка пересечения этих прямых 
найдена в ходе решения задачи 2.11. Убедимся теперь, что направляющие векторы 
и 
прямых и 
образуют острый угол. Действительно,
Очевидно, что 
. (Направляющие векторы 
и 
всегда можно взять равными по длине, например единичными.) Так как 
, то параллелограмм, построенный на векторах и 
как на сторонах, является ромбом, а диагональ 
биссектрисой его угла. Следовательно, вектор 
может быть выбран в качестве направляющего вектора биссектрисы .
Таким образом, известно, что искомая прямая проходит через точку 
и ее направляющий вектор равен 
. Запишем канонические уравнения 
согласно формуле (2.3):
Чертеж к этой задаче предлагаем сделать самостоятельно.
Ответ: 
.
