Решение типовых задач

Задача 3.1. Найти острый угол между прямой и плоскостью .

Решение. Направляющий вектор прямой равен . Нормальный вектор плоскости равен . По формуле (3.1)

, .

Ответ:

Задача 3.2. При каком значении прямая : параллельна плоскости : ?

Решение. Согласно условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальный вектор первой плоскости равен , нормальный вектор второй плоскости равен . Направляющий вектор прямой равен (см. формулу (2.6)):

Условие параллельности прямой и плоскости это условие ортогональности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости , т. е. . Умножая, получаем

Таким образом, уравнение плоскости будет .

Ответ:

Задача 3.3. При каких значениях и прямая лежит в плоскости ?

Решение. Прямая будет параллельна плоскости, если ее направляющий вектор будет ортогонален нормальному вектору плоскости , т. е. . Запишем это условие:

Прямая будет принадлежать плоскости, если координаты точки , через которую проходит прямая, удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда получаем, что

При решении задачи мы воспользовались формулой (3.2).

Ответ:

Задача 3.4. Найти точку пересечения прямой : и плоскости :

Решение. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде

Подставляя выражения для в уравнение плоскости , получим

Теперь следует подставить значение параметра в параметрические уравнения прямой . Находим .

Ответ:

Полезная формула. Если прямая пересекается с плоскостью , то точке пересечения отвечает значение параметра

. (3.3)

Задача 3.5. Найти уравнение плоскости , проходящей через прямую : перпендикулярно плоскости :

Решение. Плоскость имеет два направляющих вектора и и проходит через точку (рис. 3.1). Согласно формуле (1.9) ее уравнение будет иметь вид

или

Окончательно: .

Ответ: .

Задача 3.6. Известны координаты вершин тетраэдра: Найти уравнение и длину его высоты .

Решение. Данный тетраэдр мы рассматривали в задаче 1.10. Уравнение основания

имеет вид

. В качестве направляющего вектора

высоты

можно выбрать нормальный вектор грани

, т. е.

(рис. 3.2). Кроме того, нам известны координаты точки

, через которую проходит высота. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой (2.3). Тогда получим

: .

Высоту можно найти по формуле (1.5), определяющей расстояние от точки до грани : .

(Напомним, что – это коэффициенты в общем уравнении плоскости , и они равны , , , .)

Ответ: : ; .

Задача 3.7. Даны прямые : и : . Найти уравнение плоскости проходящей через прямую параллельно прямой

Решение. Векторы и являются направляющими векторами плоскости (рис. 3.3). Точка принадлежит плоскости . Решаем задачу, используя формулу (1.9):

или

Окончательно: .

Ответ: .

Задача 3.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку .

Решение. Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор равен . Произвольная точка будет принадлежать искомой плоскости , если векторы и компланарны: (рис. 3.4), т. е.

Это и есть уравнение плоскости . Подставляем координаты:

или

Окончательно: .

Ответ: .

Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку , не лежащую на этой прямой, имеет вид

(3.4)

Задача 3.9. Доказать, что прямые

: :

лежат в одной плоскости и найти уравнение этой плоскости.

Решение. Первая прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Вторая прямая проходит через точку и ее направляющим вектором является . Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны: (рис. 3.5), т. е.

Подставим заданные координаты:

Это означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Векторы и не коллинеарны. Следовательно, эти прямые пересекаются.

Найдем уравнение плоскости , в которой лежат прямые и . Очевид но, что произвольная точка будет принадлежать плоскости, если векторы , , компланарны: (рис. 3.6), т. е.

Это и есть уравнение искомой плоскости. Подставляем координаты и вычисляем определитель разложением по элементам первой строки. Получаем

или

Окончательно: .

Ответ: .

Полезные формулы. Две прямые

: :

лежат в одной плоскости, если

. (3.5)

Если прямые пересекаются, то уравнением этой плоскости будет

. (3.6)

Замечание. Прямые скрещиваются (т. е. не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда и равенство (3.5) несправедливо.

Задача 3.10. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

: : .

Решение. Ясно, что направляющие векторы этих прямых равны

. Первая прямая проходит через точку

, вторая

через точку

. Произвольная точка

принадлежит искомой плоскости

, если векторы

компланарны:

(рис. 3.7), т. е.

Подставляя заданные координаты, находим уравнение плоскости

или

Окончательно: .

Ответ: .

Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ( , )

: : ,

имеет вид

. (3.7)

Замечание. В задачах 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 без труда можно указать два направляющих вектора искомых плоскостей. Поэтому решение этих задач аналогично решению задачи 1.2. Если эти направляющие векторы явно не обозначены в ходе решения, то найдите их самостоятельно. Подумайте, что общего в формулах (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7).

Задача 3.11. Найти координаты проекции точки на плоскость : .

Решение. Находим параметрические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости . В качестве направляющего вектора прямой можно выбрать нормальный вектор плоскости , т. е. положить (рис. 3.8). Параметрические уравнения прямой будут (см. формулу (2.2)):

По формуле (3.3) находим значение параметра , при котором прямая пересекает плоскость. Получим . Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и вычислим координаты точки

Ответ:

Задача 3.12. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости : .

Решение. Воспользуемся результатом решения предыдущей задачи. Точка – проекция точки на плоскость. Координаты точки можно найти, используя соотношения:

(рис. 3.9). Следовательно,

Ответ:

Задача 3.13. Найти координаты проекции точки на прямую : .

Решение. Найдем уравнение плоскости , перпендикулярной прямой и проходящей через точку . В качестве нормального вектора плоскости можно выбрать направляющий вектор прямой , т. е. положить (рис. 3.10). Тогда уравнение плоскости

или

Параметрические уравнения прямой имеют вид

Далее решаем аналогично задаче 3.11. Координаты точки находим с помощью формулы (3.3). Получаем ,

Ответ:

Задача 3.14. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой

Решение. Воспользуемся результатом задачи 3.13. Точка проекция точки на прямую .

Координаты точки можно найти, используя соотношения:

(рис. 3.11). Следовательно,

Ответ:

Задача 3.15. Найти расстояние между параллельными прямыми

Решение. Нужно вычислить длину перпендикуляра , опущенного из точки , через которую проходит прямая , на прямую . Для этого построим параллелограмм со сторонами и (рис. 3.12). Здесь – точка, через которую проходит прямая , а направляющий вектор прямых (так как прямые параллельны, то ). Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения векторов и :

Расстояние получим, разделив площадь параллелограмма на длину его стороны :

Ответ:

Полезная формула. Если заданы две параллельные прямые

; ,

то расстояние между ними вычисляется по формуле

где и точки, через которые проходят прямые и соответственно, их направляющий вектор.

Задача 3.16. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:

Решение. Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Известно, что если прямые скрещиваются, то существуют две параллельные плоскости и такие, что прямая лежит в плоскости , а прямая в плоскости . Направляющие векторы и будут направляющими векторами этих плоскостей.