Задача 3.1. Найти острый угол между прямой и плоскостью .
Решение. Направляющий вектор прямой равен . Нормальный вектор плоскости равен . По формуле (3.1)
, .
Ответ:
Задача 3.2. При каком значении прямая : параллельна плоскости : ?
Решение. Согласно условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальный вектор первой плоскости равен , нормальный вектор второй плоскости равен . Направляющий вектор прямой равен (см. формулу (2.6)):
.
Условие параллельности прямой и плоскости это условие ортогональности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости , т. е. . Умножая, получаем
.
Таким образом, уравнение плоскости будет .
Ответ:
Задача 3.3. При каких значениях и прямая лежит в плоскости ?
Решение. Прямая будет параллельна плоскости, если ее направляющий вектор будет ортогонален нормальному вектору плоскости , т. е. . Запишем это условие:
Прямая будет принадлежать плоскости, если координаты точки , через которую проходит прямая, удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда получаем, что
|
|
При решении задачи мы воспользовались формулой (3.2).
Ответ:
Задача 3.4. Найти точку пересечения прямой : и плоскости :
Решение. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде
Подставляя выражения для в уравнение плоскости , получим
Теперь следует подставить значение параметра в параметрические уравнения прямой . Находим .
Ответ:
Полезная формула. Если прямая пересекается с плоскостью , то точке пересечения отвечает значение параметра
. (3.3)
Задача 3.5. Найти уравнение плоскости , проходящей через прямую : перпендикулярно плоскости :
Решение. Плоскость имеет два направляющих вектора и и проходит через точку (рис. 3.1). Согласно формуле (1.9) ее уравнение будет иметь вид
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Задача 3.6. Известны координаты вершин тетраэдра: Найти уравнение и длину его высоты .
|
|
: .
Высоту можно найти по формуле (1.5), определяющей расстояние от точки до грани : .
.
(Напомним, что – это коэффициенты в общем уравнении плоскости , и они равны , , , .)
Ответ: : ; .
Задача 3.7. Даны прямые : и : . Найти уравнение плоскости проходящей через прямую параллельно прямой
|
|
Решение. Векторы и являются направляющими векторами плоскости (рис. 3.3). Точка принадлежит плоскости . Решаем задачу, используя формулу (1.9):
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Задача 3.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку .
Решение. Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор равен . Произвольная точка будет принадлежать искомой плоскости , если векторы и компланарны: (рис. 3.4), т. е.
.
Это и есть уравнение плоскости . Подставляем координаты:
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку , не лежащую на этой прямой, имеет вид
(3.4)
Задача 3.9. Доказать, что прямые
: :
лежат в одной плоскости и найти уравнение этой плоскости.
Решение. Первая прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Вторая прямая проходит через точку и ее направляющим вектором является . Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны: (рис. 3.5), т. е.
.
Подставим заданные координаты:
.
Это означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Векторы и не коллинеарны. Следовательно, эти прямые пересекаются.
Найдем уравнение плоскости , в которой лежат прямые и . Очевид но, что произвольная точка будет принадлежать плоскости, если векторы , , компланарны: (рис. 3.6), т. е.
.
Это и есть уравнение искомой плоскости. Подставляем координаты и вычисляем определитель разложением по элементам первой строки. Получаем
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Полезные формулы. Две прямые
: :
лежат в одной плоскости, если
. (3.5)
Если прямые пересекаются, то уравнением этой плоскости будет
. (3.6)
Замечание. Прямые скрещиваются (т. е. не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда и равенство (3.5) несправедливо.
Задача 3.10. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:
: : .
|
.
Подставляя заданные координаты, находим уравнение плоскости
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ( , )
: : ,
имеет вид
. (3.7)
Замечание. В задачах 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 без труда можно указать два направляющих вектора искомых плоскостей. Поэтому решение этих задач аналогично решению задачи 1.2. Если эти направляющие векторы явно не обозначены в ходе решения, то найдите их самостоятельно. Подумайте, что общего в формулах (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7).
Задача 3.11. Найти координаты проекции точки на плоскость : .
Решение. Находим параметрические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости . В качестве направляющего вектора прямой можно выбрать нормальный вектор плоскости , т. е. положить (рис. 3.8). Параметрические уравнения прямой будут (см. формулу (2.2)):
По формуле (3.3) находим значение параметра , при котором прямая пересекает плоскость. Получим . Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и вычислим координаты точки
Ответ:
Задача 3.12. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости : .
Решение. Воспользуемся результатом решения предыдущей задачи. Точка – проекция точки на плоскость. Координаты точки можно найти, используя соотношения:
(рис. 3.9). Следовательно,
Ответ:
|
|
Задача 3.13. Найти координаты проекции точки на прямую : .
Решение. Найдем уравнение плоскости , перпендикулярной прямой и проходящей через точку . В качестве нормального вектора плоскости можно выбрать направляющий вектор прямой , т. е. положить (рис. 3.10). Тогда уравнение плоскости
:
или
Параметрические уравнения прямой имеют вид
Далее решаем аналогично задаче 3.11. Координаты точки находим с помощью формулы (3.3). Получаем ,
Ответ:
Задача 3.14. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой
:
Решение. Воспользуемся результатом задачи 3.13. Точка проекция точки на прямую .
Координаты точки можно найти, используя соотношения:
(рис. 3.11). Следовательно,
Ответ:
Задача 3.15. Найти расстояние между параллельными прямыми
.
Решение. Нужно вычислить длину перпендикуляра , опущенного из точки , через которую проходит прямая , на прямую . Для этого построим параллелограмм со сторонами и (рис. 3.12). Здесь – точка, через которую проходит прямая , а направляющий вектор прямых (так как прямые параллельны, то ). Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения векторов и :
.
Расстояние получим, разделив площадь параллелограмма на длину его стороны :
Ответ:
Полезная формула. Если заданы две параллельные прямые
; ,
то расстояние между ними вычисляется по формуле
,
где и точки, через которые проходят прямые и соответственно, их направляющий вектор.
Задача 3.16. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:
Решение. Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Известно, что если прямые скрещиваются, то существуют две параллельные плоскости и такие, что прямая лежит в плоскости , а прямая в плоскости . Направляющие векторы и будут направляющими векторами этих плоскостей.
Построим параллелепипед, сторонами которого являются векторы (рис. 3.13). Найдем его объем. Для этого вычислим смешанное произведение
|
|
Таким образом, объем
Теперь найдем площадь основания параллелепипеда (см. решение задачи 3.15):
,
Расстояние между скрещивающимися прямыми будет равно
Ответ:
Полезная формула. Если заданы две скрещивающиеся прямые
,
то расстояние между ними вычисляется по формуле
Здесь и – точки, через которые проходят прямые и соответственно, и – их направляющие векторы.
Замечание. Кратко опишем другой способ решения задачи 3.16. Сначала найдем уравнение плоскости (проделайте это самостоятельно). Оно будет
.
Расстояние равно расстоянию от точки до плоскости . Теперь все следует из формулы (1.5):