Решение типовых задач

Задача 1.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

, если задан нормальный вектор .

Решение. Воспользуемся уравнением (1.2):

Подставляя координаты вектора и точки , получим

Ответ:

Задача 1.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и (их называют направляющими векторами плоскости).

Решение.

Первый способ. Пусть – произвольная точка на плоскости. Тогда векторы и (рис. 1.2) должны быть компланарны, т. е. их смешанное произведение должно быть равно 0: . Запишем смешанное произведение через координаты векторов. Получим

Подставим заданные координаты и вычислим определитель разложением по элементам первой строки:

или

Окончательно:

Второй способ. Найдем сначала вектор (рис. 1.1). Очевидно, что вектор нормали к плоскости должен быть ортогонален также векторам и . Поэтому его можно выбрать как векторное произведение

Затем выпишем общее уравнение плоскости, используя , (см. формулу (1.2)). Получим

Ответ:

Полезная формула. Если плоскость проходит через точку , и – ее направляющие векторы, то уравнение плоскости имеет вид

(1.7)

Замечание. Первый способ решения задачи предпочтительнее. Второй способ отличается лишь тем, что в нем смешанное произведение трех векторов , , вычисляется последовательно. А именно: сначала находим векторное произведение и затем результат умножаем скалярно на вектор . В дальнейшем при решении задач будем придерживаться первого способа.

Задача 1.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно вектору .

Решение. Пусть

произвольная точка на плоскости. Тогда векторы

компланарны (рис. 1.3). Запишем условие компланарности векторов через их координаты:

Подставляя заданные координаты, получим

или

Окончательно:

Ответ:

Полезная формула. Если плоскость проходит через две заданные точки и параллельно вектору , то ее уравнение имеет вид

(1.8)

Задача 1.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

Решение. В качестве вектора искомой плоскости можно выбрать нормальный вектор заданной плоскости, так как эти плоскости параллельны. Таким образом, имеем и . Подставляя координаты и в уравнение (1.2), получим

Окончательно:

Ответ:

Задача 1.5. Найти величину острого угла между плоскостями и

Решение. Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами и (см. формулу 1.4)).

Отсюда

Ответ:

Задача 1.6. Чему равен угол между плоскостями и ?

Решение. Найдем скалярное произведение нормальных векторов и

Следовательно, эти плоскости перпендикулярны:

Ответ:

Задача 1.7. Составить уравнение плоскостей, которые проходят через точку и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках на осях (1.3). Рассмотрим сначала случай 1: (рис. 1.4). Тогда получим

Подставляя в уравнение координаты точки , найдем

Уравнение плоскости: Затем следует аналогично рассмотреть случаи 2: 3: 4: Получим четыре различные плоскости.

Ответ:

Задача 1.8. Построить плоскости, заданные уравнениями: 1) ; 2) ; 3) ; 4) плоскость , проходящую через точку параллельно плоскости ; 5) плоскость , проходящую через точку и ось .

Решение. 1. Плоскость параллельна плоскости и отсекает на оси отрезок, равный (рис. 1.5).

2. Плоскость параллельна оси , пересекает плоскость по прямой , отсекая на осях и отрезки, равные 2 (рис. 1.6).

3. Уравнение плоскости запишем в отрезках на осях (1.3): . Плоскость отсекает на осях , , отрезки, длины которых равны соответственно 4, 3, 2 (рис. 1.7).

Рис. 1.8

4. Так как плоскость параллельна плоскости , то ее нормальный вектор можно выбрать в виде . Тогда согласно формуле (1.2) уравнение плоскости будет , где по условию задачи. Таким образом, получаем (рис. 1.8).

5. Плоскость проходит через ось . Поэтому ее нормальный вектор имеет вид . Так как плоскость проходит через начало координат , то коэффициент в уравнении плоскости (1.1) равен 0. Подставляя координаты точки в уравнение , получаем (рис. 1.9).

Задача 1.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Решение. Пусть произвольная точка на плоскости. Тогда векторы , , компланарны (рис. 1.10). Запишем условие компланарности этих векторов через их координаты:

Подставим значения координат и найдем уравнение плоскости:

или

Ответ:

Полезная формула. Если плоскость проходит через три заданные точки не лежащие на одной прямой, то ее уравнение имеет вид

(1.9)

Задача 1.10. Даны координаты вершин тетраэдра: , , , (рис. 1.11). Составить уравнения его граней.

Решение. Найдем уравнение грани . Для этого подставим в формулу (1.9) координаты вершин :

или

Уравнение искомой грани имеет вид

Уравнения граней , , найдите самостоятельно.

Ответ:

Задача 1.11. Найти расстояние от точки до плоскости

Решение. Используем формулу (1.5): .

Ответ:

Задача 1.12. Найти расстояние между параллельными плоскостями

Решение.

Первый способ. Выберем произвольно точку на плоскости . Пусть, например, Тогда Следовательно, Найдем расстояние от точки до плоскости , по формуле (1.5):

Второй способ. Очевидно, что плоскости и лежат по одну сторону относительно начала координат

Обозначим через расстояние от начала координат до плоскости , через – до плоскости (рис. 1.12).

Расстояние между плоскостями равно . Отсюда находим

Ответ:

Замечание. Если бы плоскости находились по разные стороны от начала координат (рис. 1.13), то расстояние между ними было бы равно

Задача 1.13. Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую и точку не лежащую на этой прямой.

Решение. Уравнение произвольной плоскости , проходящей через заданную прямую, имеет вид (см. формулу (1.6))

Отсюда

Подставляя в это уравнение координаты точки , получим

Положим, например, Тогда Остается подставить эти коэффициенты в уравнение плоскости. Получим

Ответ:

Задача 1.14. Написать уравнение биссектрисы острого двугранного угла между плоскостями и

Решение. Нормальные векторы первой и второй плоскостей соответственно равны и Они образуют острый угол , так как

Очевидно, что (Нормальные векторы и всегда можно взять равными по длине, например, единичными.) Так как , то параллелограмм, построенный на векторах и как на сторонах, является ромбом, а диагональ биссектрисой его угла. Следовательно, вектор может быть выбран в качестве нормального вектора искомой биссектрисы Далее следуем рассуждениям задачи 1.13. Уравнение биссектрисы ищем в виде