2020-08-05
126
Функция называется непрерывной на интервале 
, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке 
, если она непрерывна в каждой точке этого интервала и на концах этого отрезка, то есть существуют конечные левые и правые пределы на соответствующих концах отрезка.
Свойства функция непрерывных на отрезке:
1. Если функция 
непрерывна на отрезке , тогда она ограничена. Непрерывность на интервале не гарантирует ограниченности;
2. Если функция непрерывна на отрезке , тогда она достигает своего наибольшего M и наименьшего значения m. Иными словами, можно указать точки 
; Непрерывность на интервале не гарантирует ни наличие M и m, ни их достижения.
3. Если непрерывна на отрезке и m и M – неменьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке, тогда любое промежуточное значение 
обязательно принимает в некоторой точке 
. Если непрерывности на отрезке нет, тогда некоторые промежуточные значения могут не приниматься такой функцией;
4. Если непрерывна на отрезке и значения на концах 
и 
имеют разные знаки, тогда существует точка 
.
Сравнение БМФ и ББФ
Пусть 
и 
– БМФ при 
или 
, тогда при 
функция – БМФ более высокого порядка, чем
Если 
, тогда и – БМФ одного порядка малости
Частный случай при 
, тогда и называют эквивалентными при
Теорема: В случае неопределенности 
весь числитель и весь знаменатель можно заменить на эквивалентные функции
Если числитель и знаменатель представлены произведением функций, тогда множитель также можно заменить на эквивалентный. Нельзя менять на эквивалентные в случае суммы.
Пусть 
при , тогда справедливы следующие соотношения
Аналогично анализируются ББФ, для которых также справедливы указанные соотношения.
Производная
Пусть задана непрерывная в точке 
функция . Рассмотрим приращение аргумента 
, тогда получим приращение функции в точке 
. Приращение аргумента может быть как больше нуля, так и меньше, что задает правое и левое движение по указанной функции. В связи с этим приращение функции также может быть больше или меньше нуля.
Знаки приращения функции и приращения аргумента будут совпадать для возрастающих функций или будут противоположными при убывающих функций.
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 
называется производной функции
Производная в некоторой точке – число. Если рассматривать производную в произвольной точке, тогда 
– функция.
Производные некоторых элементарных функций
, 
, 
, 
, 
,
В физическом смысле производная позволяет найти мгновенную скорость тела в заданный момент времени используя функцию расстояния.
Пусть найдена производная некоторой функции и равна 
, поскольку это также функция, тогда для нее тоже можно искать производную. Производная любого порядка примет вид
