Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого интервала и на концах этого отрезка, то есть существуют конечные левые и правые пределы на соответствующих концах отрезка.
Свойства функция непрерывных на отрезке:
1. Если функция непрерывна на отрезке , тогда она ограничена. Непрерывность на интервале не гарантирует ограниченности;
2. Если функция непрерывна на отрезке , тогда она достигает своего наибольшего M и наименьшего значения m. Иными словами, можно указать точки ; Непрерывность на интервале не гарантирует ни наличие M и m, ни их достижения.
3. Если непрерывна на отрезке и m и M – неменьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке, тогда любое промежуточное значение обязательно принимает в некоторой точке . Если непрерывности на отрезке нет, тогда некоторые промежуточные значения могут не приниматься такой функцией;
4. Если непрерывна на отрезке и значения на концах и имеют разные знаки, тогда существует точка .
Сравнение БМФ и ББФ
Пусть и – БМФ при или , тогда при функция – БМФ более высокого порядка, чем
Если , тогда и – БМФ одного порядка малости
Частный случай при , тогда и называют эквивалентными при
Теорема: В случае неопределенности весь числитель и весь знаменатель можно заменить на эквивалентные функции
Если числитель и знаменатель представлены произведением функций, тогда множитель также можно заменить на эквивалентный. Нельзя менять на эквивалентные в случае суммы.
Пусть при , тогда справедливы следующие соотношения
Аналогично анализируются ББФ, для которых также справедливы указанные соотношения.
Производная
Пусть задана непрерывная в точке функция . Рассмотрим приращение аргумента , тогда получим приращение функции в точке . Приращение аргумента может быть как больше нуля, так и меньше, что задает правое и левое движение по указанной функции. В связи с этим приращение функции также может быть больше или меньше нуля.
Знаки приращения функции и приращения аргумента будут совпадать для возрастающих функций или будут противоположными при убывающих функций.
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при называется производной функции
Производная в некоторой точке – число. Если рассматривать производную в произвольной точке, тогда – функция.
Производные некоторых элементарных функций
, ,
,
, ,
В физическом смысле производная позволяет найти мгновенную скорость тела в заданный момент времени используя функцию расстояния.
Пусть найдена производная некоторой функции и равна , поскольку это также функция, тогда для нее тоже можно искать производную. Производная любого порядка примет вид