Параметрически заданные функции и их дифференцирование

       Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно уравнением , а через промежуточную величину t. Тогда функция примет вид

Такое задание функции называется параметрическим.

       Пусть функции  и  определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра t. Дифференциалы левых и правых частей каждого из равенств примут вид

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически

Для нахождения производных высших порядков повторяем указанные действия нужное количество раз.

       Рассмотрим окружность с центром в точке  и радиусом a, которая касается оси абсцисс в начале координат, как показано на рисунке 45. Предположим, это эта окружность катится без скольжения по оси абсцисс. Тогда точка М окружности, совпадавшая в начальный момент с началом координат, описывает линию, которая называется циклоидой.

Рисунок 45. График параметрически заданной полуокружности.

Уравнение указанного на рисунке 45 графика примет вид

Данное уравнение – параметрическое уравнение циклоиды. При изменении параметра от 0 до t рассматриваемая окружность совершит один полный оборот, а точка M опишет одну арку циклоиды.