Касательная к графику функции

Пусть дана некоторая кривая и фиксированная точка на ней. Выберем произвольную точку на этой же кривой и проведем секущую. Пусть движется по кривой к , тогда секущая меняет свое положение. Если в момент слияния секущая занимает однозначное положение, тогда это предельное положение секущей, которая называется касательной. Все вышеуказанные построения представлены на рисунке 42.

Рисунок 42. Построение касательной к графику функции.

Касательная существует не всегда. Например, на рисунке 43 показано, что у некоторого графика функции при выборе точки, предельное положение секущей различны.

Рисунок 43. Пример функции, когда касательная не существует в точке F.

Рассмотрим график функции , на котором зафиксирована точка на графике и выбрана произвольная , как указано на рисунке 42. Обозначим – угол наклона секущей; – угол наклона касательной

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функций в этой точке – геометрический смысл производной.

Уравнение касательной примет вид , поскольку касательная проходит через точку , где , тогда уравнение касательной примет вид

Нормалью к графику функции в точке называется прямая перпендикулярная касательной, построенной в этой же точке. Пример нормали к графику функции представлен на рисунке 44.

Рисунок 44. Нормаль относительно касательной к графику функции.

Уравнение нормали, учитывая ее расположение относительно касательной, примет вид

Дифференциал

Пусть функция имеет в точке производную, тогда приращение дифференцируемой функции примет вид

Приращение дифференцируемой функции состоит из двух частей: – пропорциональна приращению аргумента и – малая по сравнению с приращением аргумента – первая главная линейная часть приращения.

Главная линейная часть приращения называется дифференциалом

Геометрический смысл дифференциала – приращение касательной к функции. Обозначение производной функции – отношение дифференциалов функции и переменной