Тема: «Комплексные числа и действия с ними»

Цель: сформировать умение выполнять действия над комплексными числами.

Теоретические сведения к практическому занятию:

Комплексное число – это выражение вида

                                       ,                                    (1.1)

где x, y – вещественные числа, а  – мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение ); второе, y, - мнимой частью (). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Числом, сопряженным к , называют число вида . Используя формулу разности квадратов, получаем, что .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант данного уравнения:  меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

, т.е. ; .

3

Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами  и :

1)  (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);

2)  (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что );

3)  (эта операция возможна только в случае, когда ).

Пример 2. Вычислить и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:

;

поэтому , .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ). Модулем комплексного числа назовем длину отрезка  (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор  образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию . При этом выражение вида

                                                      (1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Самостоятельная работа:

1) Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.

1)                       4)

2) Найти все корни уравнений:

1) ;      2) ;  3)         

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Дайте определение комплексного числа. Приведите примеры.

2) Назовите арифметические действия над комплексными числами. Приведите примеры.

3) Какое число называется сопряженным к данному комплексному числу. Приведите примеры.

Б. Выполнить задания:

Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.

1) 2)    3)     

4)   5)