Свойства дифференциала

Теорема 1. Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций  и  равен сумме дифференциалов этих функций:

.

Теорема 2. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций  и  определяется по формуле:

.

Теорема 3. Дифференциал частного двух дифференцируемых функций  и  определяется по формуле:

.

 

Производные различных порядков

 

Пусть на некотором множестве  определена дифференцируемая функция . Производная  этой функции также является функцией от . Следовательно, можно говорить о производной этой функции, т.е. о производной от первой производной. Если она существует, то её называют производной второго порядка функции  или второй производной от первоначальной функции и обозначают  или :

.

Аналогично, если существует производная от второй производной, то она называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается через или :

.

Производной n-го порядка от функции  называется производная первого порядка от производной -го порядка и обозначается символом  или :

.

Производные четвёртого, пятого и высших порядков обозначаются  или .

Примеры:

1) Найдите  для функции .

Решение. , , , .

2) Найдите  для функции .

Решение. , , , .

Докажем формулу для  методом математической индукции.

Для  получаем , таким образом, формула верна.

Предположим, что формула верна для , т.е. .

Докажем, что формула верна для :

.

Таким образом, формула верна для любого .

Для производных n-го порядка справедливы формулы:

,

,

а также формула Лейбница:

 

.

 

 

Тема 8. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

 

Теорема о корнях производной (теорема Ролля)

 

Теорема Ролля. Если функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) ;

то существует, по крайней мере, одна точка , для которой .