Теорема 1. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале
т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.
Теорема 2. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. , где - дифференцируемая функция.
Теорема 3. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале и для любого x из этого интервала, то
.
Производные некоторых элементарных функций
1. 9.
2. 10.
3. 11.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8. 16.
Пример: Найдите производную функции
Решение. По теореме 1 и следствию из теоремы 2 получаем:
Пример: Найдите производную функции
Решение. По теореме 3 получаем:
Производная сложной функции
Пусть задана сложная функция , т.е. такая, что её можно представить в виде:
или . В выражении переменная u называется промежуточным аргументом.
Теорема. Если функция имеет в некоторой точке x производную , а функция имеет при соответствующем значении u производную , то сложная функция в указанной точке x также имеет производную, которая равна
,
где вместо u должно быть подставлено выражение .
Коротко,
,
т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Пример: Дана функция . Найдите .
Решение. Введем промежуточный аргумент u:
Тогда . По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
Следствие. Если функция такова, что её можно представить в виде то
Пример: Дана функция . Найдите .
Решение. Пусть . Тогда . По рассмотренному выше следствию получаем: