2020-09-24
200
Теорема 1. Если функции 
и 
дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале
т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.
Теорема 2. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. 
, где 
- дифференцируемая функция.
Теорема 3. Если функции 
и 
дифференцируемы на некотором интервале и 
для любого x из этого интервала, то
.
Производные некоторых элементарных функций
1. 
9. 
2. 
10. 
3. 
11. 
4. 
12. 
5. 
13. 
6. 
14. 
7. 
15. 
8. 
16. 
Пример: Найдите производную функции 
Решение. По теореме 1 и следствию из теоремы 2 получаем:
Пример: Найдите производную функции 
Решение. По теореме 3 получаем:
Производная сложной функции
Пусть задана сложная функция 
, т.е. такая, что её можно представить в виде:
или 
. В выражении 
переменная u называется промежуточным аргументом.
Теорема. Если функция 
имеет в некоторой точке x производную 
, а функция 
имеет при соответствующем значении u производную 
, то сложная функция 
в указанной точке x также имеет производную, которая равна
,
где вместо u должно быть подставлено выражение 
.
Коротко,
,
т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Пример: Дана функция 
. Найдите 
.
Решение. Введем промежуточный аргумент u:
Тогда 
. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
Следствие. Если функция такова, что её можно представить в виде 
то
Пример: Дана функция 
. Найдите 
.
Решение. Пусть 
. Тогда 
. По рассмотренному выше следствию получаем:
