Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках и , то на этой кривой найдётся, по крайней мере, одна точка , в которой касательная параллельна оси Ox.
Замечание 1. Доказанная теорема остается справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка не обращается в нуль, но принимает равные значения .
Замечание 2. Все три условия теоремы необходимы.
1) Нарушено первое условие, функция имеет разрыв в точке , для всех .
2) Нарушено второе условие теоремы, не существует, для всех .
3) Нарушено третье условие теоремы, , для всех .
Пример: Проверим, применима ли теорема Ролля к функции на отрезке . Найдём точку c, в которой .
Функция :
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале , ;
3) .
Тогда существует точка , такая, что .
В качестве точки c можно выбрать также .
Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)
Теорема Лагранжа. Если функция :
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале ;
|
|
то существует, по крайней мере, одна точка , такая, что
. (1)
Геометрическая иллюстрация.
Из : . Таким образом, если во всех точках дуги AB существует касательная, то на этой дуге найдётся точка C между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.
Пример: Проверьте, применима ли теорема Лагранжа к функции на отрезке . Если окажется, что теорема применима, найдите точку c, в которой выполняется равенство (1).
Решение. Функция :
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале .
Тогда существует точка , такая, что выполняется равенство (1).
Находим значения , , , .
По формуле (1) получаем:
Находим корни квадратного уравнения , т.е. . Получаем , , где . Таким образом, .