2020-09-24
134
Теорема Коши. Если функция 
и 
:
1) непрерывны на отрезке 
;
2) дифференцируемы на интервале 
;
3) 
для всех 
;
то существует, по крайней мере, одна точка 
, такая, что
.
Пример: Пусть 
, 
, 
, 
. Составьте формулу Коши и найдите значение c.
Решение. Проверим условия теоремы Коши:
1) 
и непрерывны на отрезке 
;
2) 
и дифференцируемы на интервале 
;
3) 
для всех 
.
Тогда существует точка 
, такая, что 
.
Находим значения 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Получаем:
.
Правило Лопиталя
Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть функции 
и 
на некотором отрезке 
удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке 
, то есть 
. Тогда, если существует предел отношения 
при 
, то существует и 
, причём
.
Теорема 1 применяется для раскрытия неопределённости вида 
.
Примеры:
1) 
2) 
Замечание 1. Если 
и производные и удовлетворяют тем условиям теоремы 1, которые были наложены на функции и 
, то приходим к формуле
и т.д.
Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если 
, 
.
Теорема 2. Пусть функции 
и непрерывны и дифференцируемы при всех 
в окрестности точки 
, причём производная 
для точек данной окрестности, 
, 
и существует 
. Тогда существует 
и
|
|
|
.
Теорема 2 применяется для раскрытия неопределённости вида 
.
Замечание 3. Теорема 2 распространяется на случай, когда 
, 
.
Пример:
Замечание 4. Теоремы 1 и 2 справедливы, если предел отношения производных существует. Например,
Найдём предел отношения производных:
, 
не существует.
Теорема 2 не применима.
К неопределённостям вида 
, сводятся также другие неопределённости, такие, как 
, 
, 
, 
, 
.
Пример:
Тема 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
Условие постоянства функции.
Теорема 1. Если функция 
непрерывна на отрезке 
и во всех внутренних точках отрезка её производная равна нулю, то функция 
постоянна на этом отрезке.
Теорема 2. Если функции 
и 
непрерывны на отрезке 
и имеют равные производные во всех внутренних точках отрезка, то разность этих функций постоянна:
