Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)

17 18 19 20 21 22 23

Теорема Коши. Если функция и :

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы на интервале ;

3) для всех ;

то существует, по крайней мере, одна точка , такая, что

Пример: Пусть , , , . Составьте формулу Коши и найдите значение c.

Решение. Проверим условия теоремы Коши:

1) и непрерывны на отрезке ;

2) и дифференцируемы на интервале ;

3) для всех .

Тогда существует точка , такая, что .

Находим значения , , , , , , , .

Получаем:

Правило Лопиталя

Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть функции и на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке , то есть . Тогда, если существует предел отношения при , то существует и , причём

Теорема 1 применяется для раскрытия неопределённости вида .

Примеры:

Замечание 1. Если и производные и удовлетворяют тем условиям теоремы 1, которые были наложены на функции и , то приходим к формуле

и т.д.

Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если , .

Теорема 2. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки , причём производная для точек данной окрестности, , и существует . Тогда существует и

Теорема 2 применяется для раскрытия неопределённости вида .

Замечание 3. Теорема 2 распространяется на случай, когда , .

Пример:

Замечание 4. Теоремы 1 и 2 справедливы, если предел отношения производных существует. Например,

Найдём предел отношения производных:

, не существует.

Теорема 2 не применима.

К неопределённостям вида , сводятся также другие неопределённости, такие, как , , , , .

Пример:

Тема 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Условие постоянства функции.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и во всех внутренних точках отрезка её производная равна нулю, то функция постоянна на этом отрезке.