Уравнения касательной и нормали

Возьмём на кривой точку и напишем уравнение касательной к графику функции в точке . Используем формулу:

. (1)

Для касательной угловой коэффициент , . Отсюда уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

или

. (2)

Определение. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно к касательной в этой точке.

Согласно определению, угловой коэффициент нормали равен:

Подставив в уравнение (1), получим:

или

. (3)

Уравнение (3) есть уравнение нормали к графику функции в точке .

Длина отрезка QM, заключённого между точкой касания и осью Ox, называется длиной касательной, а проекция этого отрезка на ось Ox (отрезок QP) называется подкасательной. Длина отрезка MR называется длиной нормали, а проекция PR этого отрезка на ось Ox называется поднормалью.

Пример: Напишите уравнение касательной и нормали к кривой в точке . Найдите длину подкасательной и поднормали.

Решение.

, , .

Получаем уравнение касательной или . Уравнение нормали имеет вид или .

Находим координаты точек , и . Тогда длина подкасательной равна , а длина поднормали .

Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема на отрезке . Тогда для всех определена производная:

Отсюда , где .

Тогда

. (1)

Так как в общем случае , то

, .

Таким образом, есть бесконечно малая величина одного порядка малости относительно , а есть бесконечно малая величина высшего порядка относительно . Поэтому первое слагаемое приращения функции (по формуле (1)) есть главная часть приращения функции , линейная относительно . Это выражение называют также дифференциалом функции и обозначают через или .