Исследование функции на экстремум с помощью первой производной

Определение. Пусть функция , определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует её окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (), причём знак равенства имеет место лишь в случае .

Замечание 1. Максимум и минимум функции не всегда являются наибольшим и наименьшим значениями функции на данном отрезке. В точках максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение лишь для точек окрестности, достаточно близких к точке максимума (минимума). На рисунке функция достигает максимума в точках , . Точки , являются точками минимума. Наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение в точке .

Точки максимума и минимума называют точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е.

Замечание. Необходимое условие существования экстремума не является достаточным.

Пример 1.

Тогда

, но

не является точкой экстремума.

Замечание. В точках, в которых производная не существует, может быть или максимум, или минимум, но может ни быть, ни того, ни другого.

Пример 2. не имеет производной в точке , но - точка минимума этой функции.

Пример 3. не имеет производной в точке , так как . Точка не является точкой экстремума.

Значения аргумента, при которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Пример: Исследуйте на экстремум функцию .

Решение. Имеем:

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Результаты исследования сведены в таблицу: