Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция определена и непрерывна для всех значений x, таких, что .

Определение. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции на интервале и обозначается . Следовательно,

Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если предел не является конечным, то говорят, что не существует или расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла.

Если , то несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями , x = a и осью OX.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы для других бесконечных интервалов:

, .

Последнее равенство означает, что если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует (сходится), по определению, и интеграл, стоящий слева.

Примеры:

, .

Тогда .

Интеграл от разрывной функции.

Пусть функция определена и непрерывна при , а при x = c функция либо не определена, либо имеет разрыв.

Определение. Интеграл от функции , разрывной в точке c, определяется следующим образом:

Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл называется несобственным сходящимся интегралом, в противном случае интеграл называется расходящимся.

Пример:

Если функция имеет разрыв в левом конце отрезка [ a; c ] (т.е. при x = a), то по определению:

Если функция имеет разрыв в некоторой точке внутри отрезка [ a; c ], то

если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равенства, существуют.

Пример:

Таким образом, расходится.

Замечание. Если функция , определённая на отрезке [ a; b ], имеет внутри этого отрезка конечное число точек разрыва , то интеграл от функции на отрезке [ a; b ] определяется следующим образом:

если каждый из несобственных интегралов в правой части равенства сходится. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то и называется расходящимся.