Формула Ньютона-Лейбница

 

Пусть в определённом интеграле  нижний предел  зафиксирован, а верхний предел  меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т.е. интеграл есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию через :

.

Теорема 1. Если  – непрерывная функция и , то имеет место равенство .

Иными словами, производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.

Замечание. Из теоремы 1 следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Действительно, если функция  непрерывна на отрезке , то определённый интеграл  существует, т.е. существует функция , но по теореме 1 она является первообразной от .

Теорема 2. Если  есть какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула

.

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство: Пусть  есть первообразная от . По теореме 1  есть также первообразная от . Следовательно,

(так как любые две первообразные от данной функции отличаются на постоянную ).

Пусть x = a, тогда

,

т.е.

.

Получаем

.

При   x = b получим формулу Ньютона-Лейбница:

или

.

Пример: .

 

Замена переменной в определённом интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где функция  непрерывна на отрезке .

Введём новую переменную  по формуле . Если

1) , ;

2)  и  непрерывны на отрезке ;

3)  определена и непрерывна на отрезке ,то

.

Пример: .

Замена: .

 

Интегрирование по частям

Пусть  и  - дифференцируемые по  функции. Тогда

.

Отсюда .

Так как , то . Тогда

,          ,

или

.

Пример: .

 

Несобственные интегралы