Тема 15. геометрические приложения определенного интеграла

 

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , двумя прямыми x = a, x = b и отрезком [ a; b ] оси OX вычисляется по формуле: .

Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой  и осью OX.

Решение. Находим точки пересечения параболы с осью OX: . Тогда искомая площадь равна: .

 

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми , ,  и двумя прямыми x = a, x = b, находится по формуле: .

Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Находим точки пересечения линий: . Получаем .

Вычисляем площадь:

.

Пусть функция  - непрерывна на [ a; b ] и  для всех . Рассмотрим фигуру Ф, симметричную фигуре F относительно оси OX.

, .

Таким образом, .

 

Если  конечное число раз меняет знак на отрезке [ a; b ], то интеграл по отрезку [ a; b ] разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где , и отрицателен там, где . Тогда сумма площадей вычисляется по формуле:

.

 

2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в параметрической форме   где , , .

Данные уравнения определяют некоторую функцию  на отрезке [ a; b ]. Так как , а , получаем: . Таким образом, .

Пример: Вычислите площадь области, ограниченной эллипсом .

Решение.

.

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Пусть в полярной системе координат задана кривая , где  – непрерывная функция при . Площадь сектора OAB, ограниченного кривой  и радиусами-векторами  и , вычисляется по формуле: .

Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля .