2020-09-24
80
Вычисление площадей плоских фигур
Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат.
| Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой  , двумя прямыми x = a, x = b и отрезком [ a; b ] оси OX вычисляется по формуле:
 .
|
Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой 
и осью OX.
| Решение. Находим точки пересечения параболы с осью OX:  . Тогда искомая площадь равна:
 .
|
| Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми  ,  ,  и двумя прямыми x = a, x = b, находится по формуле:
 .
|
Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
.
Решение. Находим точки пересечения линий: 
. Получаем 
.
Вычисляем площадь:
.
Пусть функция 
- непрерывна на [ a; b ] и 
для всех 
. Рассмотрим фигуру Ф, симметричную фигуре F относительно оси OX.
, 
.
Таким образом, 
.
| 
|
Если конечное число раз меняет знак на отрезке [ a; b ], то интеграл по отрезку [ a; b ] разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где 
, и отрицателен там, где . Тогда сумма площадей вычисляется по формуле:
|
|
|
.
2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями.
Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в параметрической форме 
где 
, 
, 
.
|
| Данные уравнения определяют некоторую функцию на отрезке [ a; b ]. Так как  , а  , получаем:  . Таким образом,
 .
|
Пример: Вычислите площадь области, ограниченной эллипсом 
.
Решение.
.
Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
| Пусть в полярной системе координат задана кривая  , где  – непрерывная функция при  . Площадь сектора OAB, ограниченного кривой и радиусами-векторами  и  , вычисляется по формуле:
 .
|
Пример: Найдите площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля 
.
| 
|
