Размещения (упорядоченные выборки)

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания

для самостоятельной работы студентов

по направлению подготовки

38.03.01 – Экономика

 

 

 

 

Воронеж   2016

 

УДК 512.8

 

Раецкая, Е. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: методические указания для самостоятельной работы  студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, И.В. Сапронов, Н.М. Спирина;   М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 33 с.

 

 

    Печатается по решению учебно-методического совета

    ФГБОУ ВО «ВГЛТУ»     (протокол № 5  от 22 апреля 2016 г.)

 

 

Рецензент д-р физ.-мат. наук, доцента кафедры математического анализа ВГУ                                                                                     Зубова С.П.

 

 

Содержание

Введение……………………………………………………………………………..4

1.Элементы комбинаторики………………………………………………………5

2.Классическое определение вероятности …………………………………….. 7

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей …………………………….8

4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса……….…………………10

5. Формула Бернулли…………………………….. ……………………………..11

Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин 12

 

7. Дискретные случайные величины ………………………………………….16

8. Непрерывные случайные величины ………………………………..……..17

 

9. Нормальный закон распределения………………………………………...18

10. Выборочный коэффициент корреляции. …………………………………19

 

11. Уравнения линейных среднеквадратических регрессий………….…..21

12. Выравнивание эмпирического распределения по кривой нормального распределения……………………………………………………….……………24

13. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона………………………………….………………....29

  

Вопросы для контроля. ………………………………………………………….32

 

Библиографический список……………….………………………………….....33

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 Целью изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным математическим понятиям и методам теории вероятностей и математической статистики, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.

Для достижения поставленной цели, при самостоятельной работе решаются следующие задачи:

- самостоятельное усвоение студентом теоретического материала, построенного  на основе четких формулировок и доказательстве основных теорем и выработка умения самостоятельно иллюстрировать  его примерами и задачами; самостоятельное  изучение истории появления наиболее важных понятий и результатов; наряду с изучением основных теоретических результатов при самостоятельной работе с учебными материалами, необходимо обращать внимание на пояснения об их приложениях к другим разделам математики и к техническим наукам;

- закрепление теоретического материала и выработка умения самостоятельно применять математические методы в различных приложениях.

В результате самостоятельного освоения дисциплины студент должен:

- знать основные понятия, определения и методы исследования объектов с помощью теорем и формул различных разделов дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»;

- уметь: четко формулировать и доказывать основные положения курса, решать задачи и примеры по различным разделам дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач самостоятельно выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники); самостоятельно изучать научную литературу по дисциплине;

- иметь представление о численных алгоритмах решения математических и прикладных задач его профессиональной области.

Студент по результатам освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

 

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Принцип умножения.

 

Пусть необходимо выполнить одно за другим одновременно r действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, после чего второе – n₂ способами и т.д. до r - го действия, которое можно выполнить n_r способами, то все r действий вместе в указанном порядке можно выполнить способами.

 

Пример 1.1 Бросают три игральных кубика и наблюдают за числом очков, появившихся на каждом кубике. Сколько различных исходов опыта возможно?

 

Решение. Бросают три игральных кубика, поэтому по принципу умножения r=3. На выпавшей грани первого кубика может появиться одно очко, два очка, три очка, …, шесть очков. Поэтому n₁=6. Аналогично для второго кубика – n₂=6 и для третьего кубика – n₃=6. Применяя принцип умножения, находим число всех исходов опыта:

  n₁ ∙ n₂∙ n₃ = 6 ∙6 ∙6 = 216.

 

 

Замечание к принципу умножения. Если на выполнение какого-либо из r действий наложено ограничение, то подсчет удобнее начинать с выполнения именно этого действия.

 

Пример 1.2 В машине 5 мест, одно место водителя. Сколькими способами могут сесть в машину 5 человек, если место водителя могут занять только двое из них?

 

Решение. По принципу умножения r=5. Подсчет начнем с места водителя n₁=2, следующее место может занять любой из 4-х оставшихся человек, т.е. n₂=4, следующее место может занять любой из 3-х оставшихся человек и т.д.

Поэтому n₃=3, n₄=2, n₅=1.

Итак, всех возможностей: n₁ ∙ n₂ ∙ n₃ ∙ n₄ ∙ n₅ = 2 ∙4 ∙ 3 ∙2 ∙1 = 48.

 

Размещения   (упорядоченные выборки).

 

Пусть дано множество А, состоящее из n различных элементов a₁, a₂, a₃,…,a_n.

Упорядоченные наборы, состоящие из m элементов (0<m≤n) множества А, называются размещениями из n элементов множества А по m элементов множества.

Из определения вытекает, что размещения – это выборки (комбинации),

состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m обозначается символом  и вычисляется по формуле

 где n!=1∙2∙3∙…∙n, 0! = 1.

 

Перестановки.

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов.

Перестановки – это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов.

 Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n и вычисляется по формуле:

.