2020-10-10
273
1. Для любого действительного числа 
определено одно из соотношений:
а) 
б) 
в) 
2. Если 
и 
, то 
; 
.
3. Если 
, то говорят, что число 
больше 
и пишут 
.
4. Для любых двух действительных чисел 
и 
установлено одно из соотношений:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
5. Отношение 
обладает таким свойством: если 
и 
, то 
.
6. Отношение 
обладает таким свойством: а) если 
и 
, то 
.
б) если 
, то 
.
Причем, это выполняется 
.
Замечание1. Вместо 
пишут также 
.
2. Запись 
(или 
) означает, что либо 
, либо 
(
).
3. а) Соотношения 
, 
, , называются неравенствами.
б) Соотношения , называются строгими неравенствами.
Непрерывность действительных чисел (принцип Дедекинда)
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831 – 1916) – немецкий математик, дал обоснование теории действительных чисел.
Пусть 
и 
– два множества, состоящие из действительных чисел. Тогда, если для любых чисел 
, 
выполняется неравенство 
, то существует хотя бы одно число 
, такое что 
выполняется неравенство: 
.
Другими словами: множество действительных чисел непрерывно, в нем нет пробелов.
Аксиома Архимеда
Архимед (
287– 212 лет до н. э.) – древнегреческий ученый.
Каково бы ни было число 
, которое больше 
, т.е. 
.
Перечисленные свойства являются аксиомами действительных чисел.
Дополнительные свойства действительных чисел
Рассмотрим далее свойства, которые выполняются 
.
1. Число 
является решением уравнения 
.
Доказательство
1) Прибавим к левой и правой частям уравнения число 
, получим 
.
2) Используя переместительное и сочетательное свойства сложения, перепишем выражение 
.
3) На основании 4 свойства сложения действительных чисел можно написать 
.
4) На основании 3 свойства сложения действительных чисел выражение примет вид 
или 
.
5) Для существования решения нужно проверить, что число 
является решением уравнения.
а) Подставим в уравнение число .
б) Получим 
или 
, или 
.
в) Тогда 
или 
– решение уравнения .
ч. т. д.
Замечание. Число 
называется разностью чисел 
и 
и пишется 
.
2. Число 
является решением уравнения 
, если 
.
Доказательство
1) Домножим обе части уравнения на число 
, получим 
, или 
, или 
в соответствии с 1 и 2 свойствами умножения действительных чисел.
2) В соответствии с 4 и 3 свойствами умножения действительных чисел можно записать 
или 
.
3) Осуществим проверку:
а) Подставим число в уравнение .
б) Получим 
, или 
, или 
.
в) Затем 
или 
– решение уравнения .
ч. т. д.
Замечание. Число 
называется частным чисел 
и 
и обозначается 
или 
, 
.
3. Если 
, то 
.
Доказательство
1) Так как , то 
или 
на основании 3 свойства сравнения действительных чисел.
2) Прибавим к обеим частям неравенства число 
, получим 
.
3) Используя переместительный, сочетательный законы, 4 и 3 свойства сложения действительных чисел, можно записать 
, или 
, или 
.
ч. т. д.
Замечание. а) Если 
, то 
;
б) Если 
, то 
.
4. Если 
и 
, то 
.
Доказательство
1) Пусть 
и 
.
2) Прибавим к обеим частям первого неравенства число 
, а к обеим частям второго неравенства число 
; с учетом свойства сравнения 6(б): 
и 
.
3) С учетом переместительного свойства сложения: 
и 
.
4) С учетом свойства сравнения 6(а): 
(
, то 
).
ч. т. д.
5. Если 
и 
, то 
.
Доказательство
1) Так как , то 
(с учетом дополнительного свойства 3) или 
(в соответствии с замечанием №1 свойств сравнения).
2) Так как , то 
(в соответствии с замечанием №1 свойств сравнения).
3) Рассмотрим два неравенства 
и 
.
4) С учетом дополнительного свойства 4 можно записать 
или 
при использовании 3 или 2 свойств сравнения действительных чисел.
ч. т. д.
6. 
.
7. Если 
, то 
.
8. 
.
9. Если 
и 
, то 
.
Доказательство
1) Так как , то 
с учетом замечания к дополнительному свойству 3.
2) Известно, что если и , то 
на основании 2 свойства сравнения действительных чисел.
3) Тогда, если и , то 
, или 
, или 
(с учетом замечания (б) дополнительного свойства 3).
ч. т. д.
10. Если и 
, то 
.
Доказательство
1) Так как , то 
на основании замечания (б) к дополнительному свойству 3.
2) В силу дополнительного свойства 9, если и , то 
или 
.
ч. т. д.
11. Если 
, то 
.
Доказательство
1) Если , то 
, тогда 
в силу дополнительного свойства 10 или 
.
2) Если 
, то 
, тогда 
или 
в силу свойства сравнения 2.
ч.т.д.
Модуль
Тема №1
