2020-10-10
1112
Лекция №2
1. Модуль действительного числа и его свойства.
2. Геометрическое изображение действительных чисел. Ось, направленный отрезок, величина отрезка.
3. Основное тождество.
4. Расширенная числовая прямая.
5. Промежутки действительных чисел.
6. Понятие e - окрестности.
Модуль действительного числа
Понятия абсолютной величины (или модуля) действительных чисел, а также неравенства, связанные с ней будут часто использоваться при доказательстве теорем, лемм и следствий.
Определение. Абсолютной величиной или модулем действительного числа 
называется само число 
, если 
больше или равно нулю и равна 
, если 
меньше нуля: т.e.
Свойства модуля действительного числа
Свойство 1. Для любого действительного числа 
выполняется
неравенство 
. 
.
1. Если число 
, то 
.
2. Если 
, то 
.
3. Если 
, то 
.
Т.е. 
. ч.т.д.
Свойство 2. Для любого действительного числа 
.
1. Если 
, то 
. (1)
2. Так как 
, то 
.
3. Если 
, то 
, но 
. (2)
4. Сравним (1) и (2): правые части равны, тогда равные и левые части, т.е. 
. ч.т.д.
Свойство 3. Для любого действительного числа 
выполняется следующее неравенство 
.
I 1. Если 
, то 
. (3)
2. Если 
, то 
.
3. Если 
, то 
.
4. Если 
и 
, то 
(по свойству транзитивности)
5. Так как 
, то в соответствии (3) последнее неравенство можно переписать, т.е. 
или 
II 1. Если 
, то 
. (4)
2. Так как 
, то умножим на 2 левую и правую части неравенства: 
или 
или 
.
3. Так как в соответствии с (4) 
, то 
III 1. Из I и II следует, что 
или 
. ч.т.д.
Свойство 4. Пусть 
– положительное число. Тогда неравенство 
равносильно 
(
– эпсилон; строчная буква греческого алфавита).
Теорема 1. Абсолютная величина суммы двух действительных чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т.е. 
.
Доказательство. 1.Пусть 
и 
– любые действительные числа, т.е.
, 
.1.
2. Согласно третьему свойству модуля из них справедливы следующие нера-венства: 
и 
.
3. Сложим левую часть с левой, правую с правой, среднюю со средней, т.е. сло-жим 2 неравенства почленно 
или 
.
4. По четвертому свойству модулей полученное неравенство равносильно 
. ч.т.д.
Замечание. Модуль разности двух чисел не больше суммы модулей этих чисел, т.е. 
.
Теорема 2. Абсолютная величина разности двух действительных чисел, не меньше разности абсолютных величин: 
Доказательство. 1.Для любых действительных чисел 
и 
.
2. Перенесем y в правую часть равенства: 
.
3. Найдем модули от обеих частей полученного неравенства 
.
4. По теореме 1 
.
5. Но 
в соответствием с 3 пунктом 
или
. ч.т.д.
Свойство 5. Каковы бы ни были два действительных числа 
и 
имеют место легко проверяемые соотношения: 
.
Доказательство I
A) 1. Пусть 
.
2. Тогда 
.
3. По определению модуля 
.
4. По определению модуля, если 
, то 
, и если 
, то 
.
5. Перемножим почленно два равенства 
и 
.
6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Если правые части
равны, то равны и левые, т.е. 
. ч.т.д.
Б) 1. Пусть 
, 
.
2. Тогда 
.
3. По определению модуля 
.
4. По определению модуля, если 
, то 
и если 
то 
.
5. Перемножим почленно два равенства 
и 
: 
.
6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Так как правые части равны, то должны быть равны и левые, т.е.
. ч.т.д.
В) 1. Пусть 
.
2. Тогда 
.
3. По определению модуля 
.
4. По определению модуля, если 
, то 
и, если 
, то 
.
5. Перемножим почленно два равенства 
и 
.
6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Так как правые части равны, то должны быть равны и левые части равенств, т.е.
. ч.т.д.
Г) 1. Пусть 
.
2. Тогда 
.
3. По определению модуля 
.
4. По определению модуля, если 
, то 
и, если 
, то 
.
5. Перемножим почленно два равенства 
и 
.
6. Сравним правые части равенств пунктов 3 и 5. Так как правые части равны, то должны быть равны и левые части равенств, т.е.
. ч.т.д.
Доказательство II
А) 1. Пусть 
2. Тогда 
и по определению модуля 
3. По определения модуля, если 
, то 
и, если 
то 
4. Разделим почленно два равенства: 
и 
5. Получим 
6. Сравним правые части равенств пунктов 2 и 5. Так как правые части равны, то равны и левые части, т.е. 
ч.т.д.
Б) 1. Пусть 
2. Тогда 
и по определению модуля 
3. По определения модуля, если 
, то 
, и, если 
то 
4. Разделим почленно два равенства: 
и 
5. Получим 
6. Сравним правые части равенств пунктов 2 и 5. Так как правые части равны, то равные и левые части, т.е. 
ч.т.д.
В) 1. Пусть 
2. Тогда 
и по определению модуля 
3. По определения модуля, если 
то 
и если 
то 
.
4. Разделим почленно два равенства: 
и 
5. Получим 
6. Сравним правые части равенств пунктов 2 и 5. Так как правые части равны, то равны и левые части, т.е. 
ч.т.д.
Г) 1. Пусть 
2. Тогда 
и по определению модуля 
3. По определения модуля, если 
то 
, и если 
, то 
4. Разделим почленно два равенства 
и 
5. Получим 
6. Сравним правые части равенств пунктов 2 и 5. Так как правые части равны, то равны и левые части, т.е. 
ч.т.д.
Геометрическое изображение действительных чисел
1) Ось. Направленный отрезок. Величина отрезка
Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два взаимно противоположных направления. Выберем одно из них и обозначим стрелкой. Кроме того, выберем масштабную единицу измерения длины отрезков.
Определение №1. Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.
Рассмотрим на оси две произвольные точки 
и 
.
Определение №2. Отрезок с граничными точками 
и 
называется направленным, если указано, какая из точки 
и 
считается началом, а какая – концом отрезка.
1. Направленный отрезок с началом в точке 
и концом в точке 
обозначается 
. Считается, что он направлен от начала к концу.
2. В записи буква, обозначающая начало направленного отрезка, пишется первой, а буква, обозначающая конец пишется второй.
3. Длина 
направленного отрезка 
обозначается 
или 
.
4. Для направленных отрезков, лежащих на оси (или параллельных оси), вводится понятие величины направленного отрезка.
Определение №3. Величиной направленного отрезка называется такое число, равное длине направленного отрезка 
если направления отрез-ка и оси совпадают, и равное 
, если их направления противоположны.
Обозначается величина направленного отрезка : 
Для отрезков 
и 
, изображенных на рисунке,
, 
.
Замечание. Величины направленных отрезков и 
при любом направлении оси отличаются знаками: 
5. Если точки 
и 
совпадают, то величину направленного отрезка 
считают равной нулю, 
Основное тождество
Для любых трех точек 
, 
и 
на оси справедливо следующее равенство: 
. Оно называется основным тождеством.
Справедливость основного тождества легко установить по рисунку, рассматривая различные случаи взаимного расположения точек: 
, 
и 
на оси. Если три точки 
, 
и 
различны, то таких случаев шесть. В каждом из этих случаев основное тождество проверяется элементарно.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
Геометрическое изображение действительных
чисел
Определение №1. Прямая с выбранным направлением, началом координат и масштабной единицей называется координатной прямой.
1. Пусть точка 
– произвольная точка координатной прямой.
2. Поставим в соответствие точке 
действительное число 
, равное величине направленного отрезка 
: 
.
Определение №2. Действительное число называется координатой точки 
Каждой точке координатной прямой будем соответствовать действительное число – её координата.
Справедливо и обратное утверждение: каждому действительному числу соответствуем некоторая точка 
, координаты которой равна . Действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. Как правило, около точки на координатной прямой указывается число – её координата.
Пусть точка 
имеет координату 
, а точка 
имеет координату 
.
Выразим величины направленного отрезка 
через координаты точек 
и 
Согласно основного тождества 
Следовательно, 
.
Но величина 
.
Данная формула широко применяется в геометрии.
Расширенная числовая прямая
Множество действительных чисел ℝ дополняются элементами, обозначенными 
и 
. Их называют соответственно «+» и «–» бесконечностями.
I. По определению: 1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
Замечание. Операции а) 
;
б) 
; 
;
в) 
; 
не определены.
II. Для любого действительного числа 
имеют место следующие утверждения:
1. 
.
2. 
.
III. " 
имеют место следующие равенства:
1. 
;
2. 
.
IV. Для " 
имеют место следующие равенства:
1. 
;
2. 
.
Замечание.
1. 
бесконечности называются иногда бесконечными числами, а действительные числа 
ℝ) называются конечными.
2. В дальнейшем под словом число будем подразумеваться конечное действительное число.
Определение 1. Множество действительных чисел ℝ дополненное элементами 
, называется расширенным множеством действительных чисел или расширенной числовой прямой. Обозначается: ℝ.
Определение 2. Элементы 
называются иногда бесконечно удаленными точками расширенной числовой прямой.
