Множество действительных чисел

В элементарной математике изучаются действительные числа. Их иногда называют еще вещественными.

Сначала в процессе счета возникает так называемый натуральный ряд чисел или множество натуральных чисел . В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Операции деления и вычитания не всегда оказываются возможными во множестве натуральных чисел (  ?;  ?; и т. д.).

Для того чтобы все четыре арифметические операции были возможны, кроме операции деления на ноль, приходится расширить запас чисел. Причем, этого расширения запаса чисел требуют и измерения тех или иных физических и геометрических величин.

Поэтому вводятся число ноль и целые отрицательные числа вида  – множество целых чисел, .

А затем вводятся и рациональные числа вида , где  – целые числа при  – множество рациональных чисел, .

Та же потребность измерения величин и проведение таких операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел.

Так появляются иррациональные числа,  и, наконец, комплексные числа, .

Вспомним из школьного курса математики:

1) Целые числа – натуральные числа (), числа им противоположные () и число 0, ().

2) Рациональные числа – целые числа, отрицательные, положительные и дробные числа, ().

Причем: всякое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или бесконечной периодической десятичной дробью.

Пример. Конечная: ; бесконечная периодическая десятичная дробь: .

3) Иррациональные числа – числа, которые представляются непериодической бесконечной десятичной дробью, например, число ; .

4) Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел,  (от латинского слова «действительный» или английского слова Real – реальный).

А теперь систематизируем сведения о действительных числах, перечислим основные свойства действительных чисел, а затем выведем из них некоторые следствия.