Бесконечные пределы последовательности

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно боль-шой, если для любого положительного числа М существует номер N такой, что при п>N выполняется неравенство .

{x_n} – бесконечно большая .

В этом случае пишут .

Причем:

а) Если последовательность {x_n} такова, что для любого числа существует такой номер элемента N, что при всех п>N выполняется неравенство , то пишут .

б) Если последовательность {x_n} такова, что для любого числа существует такой номер элемента N, что при всех п>N выполняется неравенство , то пишут .

Но во всех указанных случаях говорят, что последовательность {x_n} имеет бесконечный предел, равный соответственно: ; ; . Если или , или , то последовательность является бесконечно большой [28].

Замечание.

1. Очевидно, что бесконечно большая последовательность не имеет пре-дела в том смысле, как мы его определяли и обозначали числом а. Использование слова «предел» и обозначение «lim» является лишь тради-ционным.

2. В дальнейшем всегда под словом «предел» последовательности будем понимать конечный предел, т.е. определенное число а.

3. Термин «сходящаяся последовательность» употребляется для после-

довательности, имеющей конечный предел.

Окрестность беззначной бесконечности

Придадим определениям конечного и бесконечных пределов последова-тельности единообразную форму с помощью понятия «окрестность».

Определение. Для - окрестностью бесконечности без знака равна: . Иногда обозначают просто , а говорят окрестность бесконечности [29].