Определение. Последовательность, у которой существует предел назы-вается сходящейся.
Иными словами: последовательность {хп} является сходящейся, если такое число а, что для найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство: .
{хп} – сходится : .
Замечание.
1. Величина п зависит от того, каково , которое выбирается произ-вольно.
2. Чем меньше , тем п будет больше. Исключением является слу-чай, когда последовательность состоит из одинаковых элементов.
3. Если N1>N и неравенство выполняется при , то неравенство подавно будет выполняться и при [28].
Определение. Последовательность, которая не является сходящей-ся, называется расходящейся.
Замечание.
1. Если и при , то говорят, что последова-тельность {хп} сходится к числу а слева. И пишут вместо
.
2. Если и при , то говорят, что последова-тельность {хп} сходится к числу а справа. И пишут вместо .
Примеры, иллюстрирующие различные стремления последователь-ности к своему пределу.
Пример №1. Доказать, что последовательность при стремится к 1.
|
|
Пример №2. Доказать, что последовательность при стремится к 0.
Пример №3. Доказать, что последовательность не имеет предела.
Доказательство провести самостоятельно.