Монотонные последовательности

Определение №1. Последовательность  называется возрастающей, если каждый её элемент, начиная со второго, больше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .

Определение №2. Последовательность  называется убывающей, если каждый её элемент, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .

Определение №3. Последовательность  называется невозрастающей, если каждый её элемент, начиная со второго, не больше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .

Определение№4. Последовательность  называется неубывающей, если каждый её элемент, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. выполняется неравенство , .

Определение №5. Убывающие, возрастающие, неубывающие, невозрастающие последовательности называются монотонными. А возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Примеры: а) :1; ; ;…; ;… – убывающая, ограниченная (, ).

б) 1; 1; ; ; ; ;…; ; ;… – невозрастающая, ограниченная (, ).

в) 1; 2; 3;…; n;… – возрастающая, ограниченная снизу и неограниченная сверху (, ).

г) 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4;…; n; n;… – неубывающая, ограниченная снизу и неограниченная сверху (, ).

д) : 1; 0; -1; 0; 1; 0; -1;… – ограниченная (, ), не является монотонной.

Замечание: 1.Монотонные последовательности ограниченны, по крайней мере, с одной стороны

а)неубывающие – ограничены снизу, так как  и , ;

б)невозрастающие – ограничены сверху, так как , , .

2.Если монотонные последовательности ограниченны с обеих сторон, т.е. просто ограничены, то они сходятся.

3.Немонотонные последовательности этим свойством не обладают.

Пример:  – ограничена, не является монотонной и не имеет предела.

Теорема Вейерштрасса

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) – немецкий математик.

Теорема:1. Всякая возрастающая последовательность  имеет предел, конечный, если она ограничена сверху и бесконечный предел, равный , если она неограниченна сверху. Причем, предел последовательности равен её точной верхней грани: .

2. Всякая убывающая последовательность  имеет предел, конечный, если она ограничена снизу, и бесконечный предел, равный , если она неограниченна снизу, причем, предел последовательности равен её точной нижней грани: .

Доказательство: I. 1.Пусть последовательность  возрастает и ограничена сверху. Требуется доказать, что она сходится и .

2.Так как последовательность  ограничена сверху, то множество значений её элементов ограничено сверху.

3.В соответствии с теоремой: «Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань и … т.д.», то последовательность  имеет точную верхнюю грань, т.е. пусть .

4.На основании свойства точной верхней грани, можно записать:

а)   выполняется неравенство ;

б) .

5.Так как последовательность  возрастающая, то  справедливо .

6.Рассмотрим неравенства: ; ; :  или , или , или , или (так как ,  с учетом определения модуля, если , то ).

7.Последнее неравенство равносильно , но

.

Ч.т.д.

Доказательство: II. 1.Пусть последовательность  неограниченна сверху и возрастает. Требуется доказать, что .

2.Известно, что если множество неограниченно сверху, то пишут

.

3.Значит, и множество значений последовательности, неограниченной сверху, тоже будет иметь такую верхнюю грань: .

4.Так как последовательность  неограниченна сверху, то

.

5.Так как последовательность  возрастающая, то .

6.Сравним неравенства:  и .

7.Последнее неравенство говорит о том, что  является бесконечно большой последовательностью .

Ч.т.д.

Замечание: 1. Аналогично разбирается случай убывающей последовательности.

2. Утверждения теоремы остаются в силе, если последовательность становится монотонной с определенного номера, так как без влияния на предел последовательности можно отбросить любое число её первых элементов.

Следствие №1. Для того, чтобы возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

Следствие №2. Для того, чтобы убывающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.