Основные теоремы о пределах последовательностей или свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

Тема №2

Предел последовательности

Лекция №6

1. Последовательность , .

2. Замечание о бесконечно больших неограниченных последовательностях.

3. Основные теоремы о пределах последовательностей.

4. Особые случаи к теоремам о пределе суммы, произведения и частного.

5. Последовательности ,  и , N.

6. Понятие точных граней у последовательностей.

Бесконечно большая последовательность

Доказательство провести самостоятельно.

Замечание о бесконечно больших и неограниченных последовательностях.

Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

Пример: Неограниченная последовательность 1;2;1;3;1;4;…1;n;… не является бесконечно большой, так как неравенство  при  выполняется не для всех элементов , т.е. для элементов с нечетными номерами не выполняется.

 

Основные теоремы о пределах последовательностей или свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

Лемма: Для того, чтобы число a являлось пределом последовательности  необходимо и достаточно, чтобы её общий элемент  имел вид:

 при , где   – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Необходимость. 1.Пусть дана последовательность , которая сходится к числу . Надо доказать, что разность  – является бесконечно малой последовательностью.

2.Так как  сходится к , то на основании определения предела последовательности .

3.Так как , то заменим подмодульное выражение: . Значит,  – бесконечно малая последовательность.

Ч.т.д.

Достаточность. 1.Общий элемент последовательности имеет вид , где  – бесконечно малая последовательность. Требуется доказать, что  – предел этой последовательности.

2.Перепишем формулу  по иному: .

3.Найдем модули от обеих частей выражения: .

4.Так как , то  при .

5.Неравенство  равносильно равенству , т.е.  сходится к .

Ч.т.д.

Замечание:1. Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последовательностей при изучении понятия предела последовательности.

2. Общее понятие предела последовательности сводится с помощью этой леммы к понятию нулевого предела.

3. Это обстоятельство используется при изучении ряда свойств сходящейся последовательности.

Теорема №1: Предел константы есть сама константа, т.е. если , то , .

Доказать самостоятельно.

Теорема №2: Если последовательности  и  сходятся, то последовательность  также сходится, и , т.е. предел алгебраической суммы двух сходящихся последовательностей равен алгебраической сумме пределов этих последовательностей.

Доказательство: 1.Пусть последовательности  и  сходятся, т.е.  и . Доказать, что последовательность  сходится, и .

2.Так как, , , то в соответствии с леммой можно записать , , .

3.Алгебраическая сумма общих элементов этих последовательностей имеет вид: .

4.Согласно теореме об алгебраической сумме двух бесконечно малых последовательностей слагаемое  – будет также бесконечно малой последовательностью.

5.Таким образом, последовательность с общим элементом  удалось представить в виде суммы конечного числа  и бесконечно малой последовательности.

6.Тогда согласно лемме о представлении общих элементов последовательности через предел и бесконечно малую последовательность число  является пределом последовательности, , т.е. .

7.Но ,  поэтому .

Ч.т.д.

Следствие к теореме №2: Предел алгебраической суммы конечного числа сходящихся последовательностей равен алгебраической сумме пределов этих последовательностей.

Такое утверждение следует из теоремы №2 и метода математической индукции.

Теорема №3: Если последовательности  и  сходятся, то последовательность  также сходится, и , т.е. предел произведения двух сходящихся последовательностей существует и равен произведению пределов данных последовательностей.

Доказательство: 1.Пусть последовательности  и  сходятся, т.е. , . Требуется доказать, что , т.е. что последовательность  – сходится.

2.Тогда согласно лемме о представлении общего элемента последовательности через предел и бесконечно малые последовательности  и  можно представить так , , где ,  – бесконечно малые последовательности, т.е., , .

3.Произведение общих элементов этих последовательностей примет вид  где  и  – есть произведение постоянной величины на бесконечно малую последовательность.

Постоянная величина может быть рассмотрена как частный случай ограниченной последовательности. Следовательно,  и  будут бесконечно малыми последовательностями.  – это произведение двух бесконечно малых последовательностей. В соответствии с теоремой о произведении двух бесконечно малых последовательностей это выражение будет бесконечно малой последовательностью.  – бесконечно малая последовательность на основании теоремы об алгебраической сумме бесконечно малых последовательностей.

4.Итак, произведение  представимо в виде конечного числа  и бесконечно малой последовательности. Следовательно, число  можно считать пределом последовательности  в соответствии с леммой, т.е.

,  но , .

Ч.т.д.

Следствие №1 к теореме №3. Если  сходится, то для любого числа , где , , последовательность  также сходится, причем

, т.е. постоянную можно выносить за знак предела.

Данное утверждение следует из теоремы №3 и теоремы №1.

Следствие №2 к теореме №3. Если  – сходящаяся последовательность и , то . Предел степени есть степень предела.

Это утверждение следует из теоремы №3 и метода математической индукции.

Теорема №4: Если последовательности  и  сходятся и , , , то последовательность  сходится и  (т.е. при сделанных допущениях предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному от пределов данных последовательностей).

Доказательство: 1.Пусть ,  – сходятся, т.е. , . Требуется доказать, что  сходится, когда , ,  и

справедлива формула .

2.Так как ,  – сходятся, то в соответствии с леммой можно написать , , где ,  – бесконечно малые последовательности.

3.Перепишем выражение п.2 по другому , .

4.Тогда для доказательства теоремы №4 достаточно показать, что  – бесконечно малая последовательность.

5.Приведем к общему знаменателю это выражение:

где ;  – есть произведение постоянной величины на бесконечно малую последовательность, а значит, есть бесконечно малая последовательность.

Тогда разность двух бесконечно малых последовательностей ( ) – тоже бесконечно малая последовательность в соответствии с теоремой об алгебраической сумме двух бесконечно малых последовательностей.

6.Остается показать, что величина  есть ограниченная последовательность. Тогда произведение ограниченной на бесконечно малую последовательность даст бесконечно малую последовательность. И теорема будет доказана.

7.Так как  – бесконечно малая последовательность, то на основании определения бесконечно малой последовательности можно записать

.

8.Последовательность  согласно лемме представима так: .

9.Найдем модуль от обеих частей этого равенства: .

10.По свойству модуля суммы двух действительных чисел , можно записать .

11.Подставим в правую часть неравенства вместо , тем самым уменьшим правую часть, увеличив вероятность выполнения неравенства.

 или , т.е. .

12.По свойству модуля частного действительных чисел .

13.Умножим обе части неравенства на положительное число , получим

или .

Если в качестве , то последнее неравенство говорит о том, что последовательность  – ограниченная.

14.Следовательно,  – есть бесконечно малая последовательность.

Значит, последовательность  имеет предел , т.е. , но , , то  при , , .

Ч.т.д.

Замечание: Если последовательности имеют бесконечные пределы, то в общем случае утверждения теорем неверны.