2020-10-10
161
Десятичной дробью
Лемма: Каково бы ни было действительное число 
, последовательность 
монотонно убывает, последовательность 
монотонно возрастает, и 
.
Доказательство: 1.Пусть задано некоторое действительное число 
. Для определенности, пусть 
.
2.В силу аксиомы Архимеда: «Каково бы ни было число, существует такое натуральное число 
, что, 
: ()(
): ».
3.Среди натуральных чисел 
возьмем такое 
, наименьшее из них и обладающее свойством 
. Обозначим его 
, т.е. 
.
4.Так как , то 
. Значит, можно написать 
.
Покажем на рисунке.
5.Обозначим отрезок 
и разобьем его на 10 равных частей.
6.Рассмотрим последовательность отрезков 
, где 
.
1ый отрезок будет 
= 
, когда 
.
2ой отрезок будет 
= 
, когда 
.
………………………………………………………
10ый отрезок будет 
= 
, когда 
.
7.Для точки 
возможны два случая:
а) либо точка не совпадает ни с одной точкой деления;
б) либо точка совпадает с одной из точек деления
или
8.В случае а) точка принадлежит только одному отрезку. Обозначим его 
; 
: 
, где 
.
9.В другом случае точка принадлежит сразу двум отрезкам. Тогда через 
обозначим из них тот, для которого точка не является правым концом, 
.
10.Разобьем отрезок 
в свою очередь на десять равных частей, на 10 равных отрезков.
11.Обозначим через 
тот из них, который содержит точку , и для которого точка не является правым концом 
.
12.Продолжая этот процесс разбиения на отрезок, получим последовательность вложенных отрезков: 
, где 
, 
(
, 
).
13.Каждый из отрезков содержит точку , причем точка не является его правым концом 
, 
.
14.Длина nого отрезка 
при 
.
Определение №1: Конечные десятичные дроби , 
называются десятичными дробями, приближающими число .
Определение №2: Число 
называется нижним десятичным приближением порядка 
числа , а число называется верхним десятичным приближением порядка числа .
15.Сформулируем свойства нижнего и верхнего десятичных приближений порядка nого числа :
а) последовательность отрезков 
, 
образуют последовательность вложенных отрезков 
или 
;
б) длина nого отрезка 
к 0 
при 
и 
;
в) точка принадлежит всем этим отрезкам , , т.е.
, и 
при 
.
г) левые концы отрезков 
образуют возрастающую последовательность;
д) правых концы отрезков образуют убывающую последовательность 
.
Следовательно, получаем стягивающую последовательность вложенных отрезков 
, 
.
16.Согласно замечанию №1 к теореме (принципу) Коши-Кантора точка является пределом для последовательностей и , т.е.
.
17.Таким образом, лемма доказана.
Замечание: Если отрицательно, т.е., 
, то нужно принять 
и выполнить подобные исследования.
Следствие к лемме: Всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.
Следствие теоремы вытекает из того, что 
и 
суть рациональные числа.
Модуль
Тема №2
