Предел последовательности

Лекция №8

1. Число е.

2. Подпоследовательности.

3. Теорема о сходимости подпоследовательности сходящейся последовательности.

4. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Число е

Докажем, что .

Доказательство: 1.Рассмотрим последовательность  с общим членом : , , …, ,…. (2; 2,25; 2,357; 2,44; …, ,…).

Требуется доказать, что,    – иррациональное число, т.е., что последовательность  сходится к  при .

2.Известно, что возрастающая последовательность, ограниченная сверху сходится к конечному числу.

3.Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

 .

4.Представим выражение в следующем виде:

 или

.

5.Аналогичным образом представим элемент  данной последовательности:

.

6.Сравним два выражения  и , .

7.Так как, , то  поэтому .

8.Сравним  и .

Каждое слагаемое в выражении  больше соответствующего слагаемого в выражении . Кроме того, у  по сравнению с  добавляется одно положительное слагаемое. Следовательно, , т.е. последовательность  возрастает. Осталось доказать, что она ограничена сверху.

9.Рассмотрим опять n^ый элемент последовательности:

.

10.Каждое выражение, стоящее в круглых скобках меньше 1, т.е.

.

11.Учитывая это, получим, , так как

.

12.Известно, что при .

(Например, ;  и т.д.).

13.Поэтому можно записать  или .

14.Но  это сумма убывающей геометрической прогрессии с ; . Следовательно, .

15.Тогда  или  при .

16.Итак, последовательность  возрастает и ограничена сверху 3.

А всякая последовательность, возрастающая и ограниченная сверху (по теореме Вейерштрасса) имеет конечный предел. Как оказалось

.

Ч.т.д.

 

                

Модуль

Тема №3

Функции и их свойства. Операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Предел функции

Лекция №9

1. Понятие функции.

2. Операции над функциями.

3. Ограниченные сверху, снизу и ограниченные функции.

4. Наибольшее, наименьшее, максимальные, минимальные и экстремальные значения функции.

5. График функции.

6. Способы задания функции. Композиция функций.

7. Классификация функций.

8. Четные, нечетные функции и их свойства.

9. Периодические функции.

Понятие функции

Определение. Пусть  и  – некоторые числовые множества. Функцией называется множество  упорядоченных пар чисел  таких, что , , а каждое  входит в одну и только в одну пару такого множества , а каждое y входит, по крайней мере, в одну пару этого множества .

При этом говорят, что числу  поставлено в соответствие число  и пишут: . Число  называется значением функции  в точке . Переменную  называют зависимой переменной, а переменную  называют независимой переменной или аргументом.

Множество  называют областью определения (или существования) функции , а множество  – множеством значения функции .

Замечание. 1. Кроме буквы  для обозначения функции используют и другие буквы: ; ; ; .

2. Другими буквами может быть обозначена и зависимая, и независимая переменные.

3. Наряду с термином «функция» употребляют равнозначные термин «отображение». Говорят, что отображение  отображает число  в число  или что число  является образом числа  при отображении .