Предел функции по Гейне и Коши

Генрих Эдуард Гейне (1821-1881)– немецкий математик.

1.Пусть дана функция , определённая на некотором множестве . И пусть точка  или . Возьмём из множества  после- довательность точек   отличных от  при  :

, сходящуюся к , т.е. .

 Таким образом,  — последовательность значений аргумента х. Зна- чения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность: ., т.е. [30].

Теперь можно поставить вопрос о существовании предела функции в точке .

Определение №1 по Гейне(«на языке последовательностей»). Число  называется пределом функции  в точке , если для любой сходящейся к  последовательности значений аргумента , отличных от , соответствующая последовательность значений функции   схо- дится к числу .

Символически это записывается так:   или .

Из определения следует, что функция , определенная на множестве Х, имеет предел, равный , т.е. , если

а)  — сходящаяся к  последовательность значений аргумента; причем , , .

б) — сходящаяся к   последовательность значений функции, т.е. .

Примеры. 1). Функция . Доказать, что эта функция имеет в каждой точке  числовой прямой предел, равный .

Доказательство

1. Если , , сходящаяся к  последовательность значений аргумента , то последовательность значений функции  будет иметь вид:   или

2. Значит, предел последовательности значений функции имеет тот же предел: .

3. На основании определения предела функции в точке по Гейне функция  будет иметь тот же предел в точке  : .

4. Так как точка  выбиралась произвольно, то функция  будет иметь в любой точке числовой прямой предел, равный С [30].         Ч.т.д.

Рис.1.

2). Функция . Доказать, что в каждой точке  числовой прямой эта функция имеет предел, равный , т.е. .

Доказательство

1. Пусть последовательность значений аргумента, сходящаяся к , имеет вид: ,  и .

2. Тогда последовательность значений функции будет иметь вид:

 или ,… .

3. Т. е. последовательности  и  тождественны.

4. Значит, последовательность значений функции имеет тот же предел:

 5. Поэтому на основании определения предела функции в точке по Гей- не функция  будет иметь тот же предел , т. е. .

6. Так как точка   выбиралась произвольно, то функция  в лю -бой точке  числовой прямой будет иметь предел, равный  [28].  Ч.т.д.

           

                                                            

3). Функция Дирихле  не имеет предела ни в одной точке  числовой прямой.

Доказательство

1. Так для последовательности рациональных значений аргумента, схо- дящейся к , соответствующая последовательность значений функции имеет предел, равный 1.

2. А для последовательности иррациональных значений аргумента, сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции будет иметь предел, равный 0.

3. Следовательно, предела не имеет [30].                                 Ч.т.д.

Огюстен Луи Коши (1789-1857) –французский математик.

Определение №2 по Коши («на языке »). Число  называется пределом функции  в точке , если для

выполняется неравенство .

С помощью символов определение можно записать так:

.

Замечание №1. Неравенство  можно записать так:

.