2020-10-10
234
Определение №1. Симметричный промежуток – это промежуток, симметричный относительно начала координат (
; 
; 
).
Определение №2. Функция 
, заданная на симметричном проме-жутке называется четной, если для любых значений 
из области опреде-ления справедливо равенство 
.
Примеры: а) 
; б) 
; в) 
.
| y |
| x |
| 0 |
| y |
| x |
| 0 |
| 1 |
| 0 |
| x |
| y |
а) б) в)
Как видно из определения и приведенных примеров, графики всех четных функций симметричны относительно оси координат.
Определение №3. Функция 
, заданная на симметричном промежутке называется нечетной, если для любых значений 
из ее области определения справедливо равенство 
.
Примеры: а) 
; б) 
; в) 
.
| y |
| x |
| 0 |
| x |
| 0 |
| y |
| y |
| x |
| 0 |
а) б) в)
Особенностью нечетных функций является то, что их графики симметричны относительно начала координат.
Свойства четных и нечетных функций
I. Алгебраическая сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная):
а) Для четных функций:
;
б) для нечетных функций:
.
II. Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная:
а) Для четных функций:
;
б) Для нечетных функций:
.
III. Произведение четной функции на нечетную функцию есть функция нечетная:
.
IV. Всякая функция 
, заданная на некотором симметричном промежутке, может быть приставлена в виде суммы четной и нечетной функций, заданных на этом же промежутке.
