Односторонние пределы

1. Кроме рассмотренного предела функции в точке существует такое понятие как предел в точке слева или предел в точке справа.

Определение №3. Число  называется правым пределом (или пределом справа) функции  в точке , если для любой, сходящейся к  последовательности значений аргумента , все элементы которой больше , соответствующая последовательность значений функции  сходится к .

Символически:  или  или .

Определение №4. Число  называется левым пределом (пределом слева) функции  в точке , если для любой, сходящейся к , последо- вательности значений аргумента , все элементы которой меньше , соответствующая последовательность значений функции  сходится к .

Символически:  или  или .

Иными словами: Если бы в определении предела функции в точке потребовалось бы, чтобы х стремился к  не любым способом, а только слева, оставаясь все время меньше , то получили бы определение предела функции в точке  слева.

Аналогично, если существует предел функции  в точке  при условии, что х стремился к  только справа, оставаясь все время больше , то такой предел называется пределом справа [2].

Определение №5. Пределы слева и справа функции в точке называются односторонними в отличие от предела функции в точке, который называется двусторонним.

Теперь рассмотрим равносильные определения односторонних пределов функции в точке слева и справа «на языке ».

Определение №6. Число  называется правым пределом функции  в точке , если   существует такое , что для всех х, удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство  [2].

Символически:

Графически:

Рис.3.

Определение №7 («на языке »). Число  называется левым пределом (пределом слева) функции  в точке , если

.

Символически: .

Графически:

Рис.4.

Пример 5. Функция  (сигнум) имеет в точке   левый и правый пределы функции в точке (рис. 5).

а)

б)

                                                  Рис.5.

Замечание №3. Не пишут , а пишут .

                                  , а пишут  [2].

Теорема о связи односторонних пределов функции в точке