Определение достаточного объёма выборки при изучении средних арифметических

Объём выборки (N) обеспечивает достоверность выборочной средней (), то есть, выборочная средняя характеризует генеральную среднюю () с заданной точностью.

Допустимая неточность (∆) в величине генеральной средней представляет собой абсолютную величину разности между выборочной средней и генеральной средней:

Заданная точность (k) представляет собой частное от деления допустимой неточности (∆) на среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности ():

k = , тогда = k

Формула вычисления достаточного объёма выборки при →∞:

N = =

Формула вычисления достаточного объёма выборки при являющимся конечным числом:

N =

Для определения достаточного объема выборки необходимо на этапе планирования эксперимента задать 5 параметров: 1) объём генеральной совокупности (); 2) среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности (); 3) допустимую неточность исследуемого признака (∆); 4) показатель точности (k); 5) t -критерий Стьюдента (t_st).

Объем генеральной совокупности () обычно принимают стремящимся к бесконечности, в этом случае он не влияет на величину допустимого объема выборки. Если  представляет собой конечное число, его необходимо предварительно задать.

Среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности () прогнозируют тремя способами:

а) на основе предварительных оценок нескольких средних квадратических отклонений признака в нескольких выборках и расчета простого (или взвешенного) среднего между ними:

=

б) на основе предполагаемых значений генерального среднего () и коэффициента вариации в генеральной совокупности ( %), с учетом того, что <10% означает слабое разнообразие, ≈10-20% - среднее разнообразие, >20% - сильное разнообразие:

=

в) на основе приблизительных оценок минимальной () и максимальной () величин признака в генеральной совокупности и использования правила 6 сигм, при этом размах изменчивости lim (разность между максимальным и минимальным значениями) делится на 5-7 и в этом случае полученные значения частных близки к .

Допустимая неточность (∆) – допустимая разность между выборочным средним и генеральным средним, которая предварительно задаётся исследователем:

Показатель точности (k) представляет собой частное от деления допустимой неточности (∆) на среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности (). При изучении неизвестных выборок k ≈0,3-0,5; для исследований средней точности k ≈0,1-0,3; для исследований повышенной точности k ≈0,1. Иными словами, показатель точности обратно пропорционален его величине.

Критерий Стьюдента (t_st) указывает заданную степень неточности (долю ошибочных прогнозов). Установление данного показателя проводят по следующим правилам: а) для большинства агрономических исследований t ₀₅=1,96; б) для исследований, проверяющих те или иные нулевые гипотезы, t ₀₁=2,58; для ответственных исследований t ₀₀₁=3,30.

Пример 1. Планируется изучить признак «длина листовой пластинки, мм» у яблони сорта «Антоновка обыкновенная» в Центральной регионе РФ. Необходимо определить достаточный объем выборки (N – число измеряемых листьев, шт.) для достоверной оценки генерального среднего.

1. Зададим необходимые для вычислений параметры. Будем считать объем генеральной совокупности (число листьев данного сорта) близким к бесконечности: .

2. Наметим величину среднего квадратического отклонения признака «длина листовой пластинки, мм» в генеральной совокупности (). Для этого зададим приблизительную минимальную длину листовой пластинки: х_min ≈60 мм, а также максимальную длину: х_max ≈110 мм. Используем правило 6 сигм. Возьмем в знаменателе не 6, а 5 сигм для подстраховки (несколько увеличим вариацию). Тогда:

мм

3. Зададим допустимую неточность ∆≈5 мм и показатель точности  мм. Примем t -критерий равный: t ₀₅=1,96.

4. Вычислим достаточный объем выборки:

N =  шт.

Практическое задание 3.1. Планируется изучить признак «масса зеленца, мм» у партенокапического сорта огурца в Центральной регионе РФ. Необходимо определить достаточный объем выборки (N – число измеряемых плодов - зеленцов, шт.) для достоверной оценки генерального среднего на 5% уровне значимости.

Решение: