Векторы. Линейные операции над векторами

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

 

 

Литература: [1]‚Улитин Г.М.,Гончаров А. Курс лекций по высшей математике.с. 18-31, лекции 4-6

[2]‚ Улитин Г.М Краткий курс высшей математики (есть на сайте кафедры ВМ Доннту)

[3] Герасимчук В.С. и др. Курс классической математики в примерах и задачах,часть1]

[4] Данко, Попов, Кожевникова. Высшая математика в примерах и задачах. Ч1

В природе существует два рода величин: скалярные и векторные. Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными (температура, путь, масса, объем, электрический заряд, работа и т.д.). Величины, для задания которых необходимо знать не только их численное значение, но и направление в пространстве, называются векторными (сила, действующая на тело, перемещение, скорость, ускорение, момент вращения и т.д.).

Вектор − это направленный отрезок. Векторы обозначаются  или , где  − начало вектора,  − его конец. Длина вектора называется его модулем и обозначается  или .

Коллинеарные векторы − это векторы, направления которых совпадают или противоположны, что обозначают ׀׀ .

Компланарные векторы − это векторы, лежащие в параллельных плоскостях, в частности, в одной плоскости.

Два вектора  и  называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Обозначают .

Рассмотрим линейные операции над векторами.

Суммой векторов  и  называется вектор, идущий из начала вектора  в конец вектора  при условии, что начало вектора  находится в конце вектора .

Это правило называют правилом треугольника (рис. 2.1, а) или параллелограмма (рис. 2.1, б) сложения векторов.

 

                     а)                                                 б)

Рис. 2.1 Сложение векторов

по правилу треугольника (а) и параллелограмма (б)

Понятие суммы векторов позволяют ввести:

1) операцию, обратную операции сложения, − разность векторов  и  как вектор  такой, который в сумме с вектором  дает вектор  (рис. 2.2, а),

2) сложение произвольного конечного числа векторов  (правило многоугольника) (рис. 2.2, б).

 

             а)                                                                  б)

Рис.2.2 Вычитание векторов (а) и

сложение векторов по правилу многоугольника (б)

 

Произведением вектора  на число λ называется такой вектор , который удовлетворяет условиям:

а) ;

б) векторы  и  − сонаправленные, если число λ > 0, и противоположно направленные, если λ < 0.

Таким образом, из определения операции умножения вектора на число следует, что векторы  и = λ  или сонаправленные или противоположно направленные, т.е. коллинеарные.